تاریخچه اندازه گیری در جهان


سابقه اندازه گیری به عهد باستان باز می گردد و می توان آن را به عنوان یکی از قدیمی ترین علوم به حساب آورد .
در اوایل قرن 18 جیمز وات (JAMES WATT) مخترع اسکاتلندی پیشنهاد نمود تا دانشمندان جهان دور هم جمع شده یک سیستم جهانی واحد برای اندازه گیریها به وجود آورند . به دنبال این پیشنهاد گروهی از دانشمندان فرانسوی برای به وجود آوردن سیستم متریک (METRIC SYS) وارد عمل شدند .
سیستم پایه ای را که دارای دو استاندارد یکی «متر» برای واحد طول و دیگری «کیلوگرم» برای وزن بوده ، به وجود آوردند . در این زمان ثانیه (SECOND) را به عنوان استاندارد زمان (TIME) و ترموسانتیگراد را به عنوان استاندارد درجه حرارت مورد استفاده قرار می دادند .
در سال 1875 میلادی دانشمندان و متخصصات جهان در پاریس برای امضاء قراردادی به نام پیمان جهانی متریک (INTERNATIONAL METRIC COMVENTION) دور هم گرد آمدند . این قرارداد زمینه را برای ایجاد یک دفتر بین المللی اوزان و مقیاسها در سورز (SEVRES) فرانسه‌ آماده کرد. این مؤسسه هنوز به عنوان یک منبع و مرجع جهانی استاندارد پابرجاست .
امروزه سازندگان دستگاههای مدرن آمریکایی ، دقت عمل استانداردهای اصلی خود را که برای کالیبراسیون دستگاه های اندازه گیری خود به کار می برند ، به استناد دفتر
استانداردهای ملی (N.B.S)تعیین می نمایند .
لازم به یادآوری است دستگاه های اندازه گیری و آزمون به دلایل گوناگون از جمله فرسایش ، لقی و میزان استفاده ، انحرافاتی را نسبت به وضعیت تنظیم شده قبلی نشان می دهند .
هدف کالیبراسیون اندازه گیری مقدار انحراف مذکور در مقایسه با استانداردهای سطوح بالاتر و همچنین دستگاه در محدوده «تلرانس» اصلی خود می باشد .

تعریف اندازه گیری :
اندازه گیری یعنی تعیین یک کمیت مجهول با استفاده از یک کمیت معلوم و یا مجموعه‌ای از عملیات ، با هدف تعیین نمودن تعداد یک کمیت .

صحت :
نزدیکی نتیجه انداره گیری یک کمیت را با میزان واقعی آن کمیت گویند ، این مقدار به صورت درصدی از ظرفیت کلی دستگاه می باشد .

رواداری :
حداکثر انحراف یک قطعه ساخته شده از اندازه خاص خودش را گویند .

دقت :
نزدیکی میزان تفاوت نتایج حاصل از چند اندازه گیری متوالی را مشخص می نماید . دقت دستگاه دلالت بر صحت دستگاه ندارد .

تکرارپذیری :
نزدیکی مقدار خروجیهای یک دستگاه در شرایطی که مقدار ورودی به دستگاه ، روش اندازه گیری شخص اندازه گیرنده ، دستگاه اندازه گیری ، محل انجام کار ، شرایط محیطی یکسان باشد .

دامنه و میزان تغییرات :
حداقل و حداکثر ظرفیت اندازه گیری یک دستگاه را محدوده آن دستگاه گویند .

خطای ثابت :
خطایی که به طور ثابت که در تمام مراحل دامنه اندازه گیری با دستگاه همراه می باشد که این خطا با کالیبره کردن دستگاه برطرف خواهد شد.

خطای مطلق :
نتیجه اندازه گیری یک دستگاه منهای مقدار واقعی اندازه برداشت شده را گویند .
تصحیح :
مقدار عددی که به نتیجه تصحیح نشده یک اندازه گیری افزوده می شود تا یک خطای سیستماتیک فرضی را جبران نماید .

منابع خطای اندازه گیری :
تمام پارامترهای مراحل تولید و مشخصات نهایی تولید بایستی به منظور رعایت صحت استاندارد به وسیله Q.C ارزیابی شوند . طراح سیستم اندازه گیری بایستی روشی را اتخاذ نماید تا میزان خطا در خروجی دستگاهها کاهش یابد و حداکثر خطای باقی مانده شناسایی شوند .

خطاهای ناشی از دستگاه اندازه گیری :
عیوب باطنی دستگاه
استفاده غیرصحیح از دستگاه
اثرات بارگذاری دستگاه

خطاهای ناشی از مشاهده در اندازه گیری :
این نوع خطا شامل وضعیت های مختلف در هنگام خواندن دستگاه نشان دهنده با زوایای مختلف می باشد .

کلیاتی در مورد ریاضیات


تاریخچه
انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود وشمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همان طور که مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را میداند انجام میداد اما به زودی مجبور شد وسیله ی شمارش دقیق تری به وجود اورد لذا به کمک انگشتان دست دستگاه شمارش جدیدیپدید اورد که مبنای ان شصت بود .این دستگاه شمار که بسیار پیچیده میباشدقدیمی ترین دستگاه شماری است که اثاری از ان در کهن ترین مدارک موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده میشود.سومری ها که تمدنشان مربوط به هزار سال قبل از میلاد مسیح در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله وفرات ساکن بودند .ان ها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراتوری سامی اکاد متحد شدند وتمدن آشوری را پدید اوردند درز این موقع مصری ها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدن درخشانی پدید اوردنده بودند.طغیان رود نیل هر ساله حدود زمینهای زراعتی این قوم را محو میکرد احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی رهبری انها به اولین احکام ساده هندسی گردیدهمچنین مبادلات تجاری وتعیین مقدار باج وخراج سالیانه ان ها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها والواحی است که در نتیجه حفاریهای به دست امده وبه خط هیرو گلیفی می باشند به دست آمده.قدیمی ترین انها که مربوط به ۱۸۰۰ سال قبل از میلاد است شامل چند رساله درباره ی علم حساب ومسایل حساب مقدماتی میباشد از آن جمله رساله پاپیروس آهمس است که در سال ۱۸۶۸ توسط ایسنلر مصر شناس مشهور ترجمه شد .سلیر تمدنهای شرقی نظیر چینی وهندی نقش موثری نداشتند جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماورا الطبیه خرد شده است.
قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر ومحو تمدن عاشور یونانیان از روی مقدمات پراکنده وبی شکل آنها علمی پدید اوردند که در واقع به عالی ترین وجه مرتب ومنظم گردیده وعقل ومنطق را کاملا اقناع نمودند نخستین دانشمند یونانی طالس ملطسی(۶۳۹-۵۴۸) قبل از میلاد است که در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت ومیتوان وی را موجد علوم فیزیک نجوم وهندسه دانست.لیکن انتساب تئوری بسیار مهم هندسی تشابه به او کاملا بی اساس است.در اوایل قرن ششم قبل از میلاد فیثاغورس از اهالی ساموس یونان کم کم ریاضیات را بر پایه واساس محکم قرار داد وبه ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت .فیثاغورسیان عدد را به خاطر هم آهنگی ونظمی که دارد اساس ومبدا همه چیز میپنداشتند وبراین عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن میتوان بیان نمود.
پس از فیثاغورس باید از زنون فیلسوف وریاضیدان یونانی که ۴۹۰ قبل از میلاد در ایلیا متولد شده است نام برده شود در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس قضایای متفرق آن زمان را گرد اوری کرد ودر حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسه ی جدید ما را تشکیل می دهد.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ اکادموس(آکادمی از همین نام گرفته شده )در آتن مکتبی ایجاد کرد که ۹ قرن بعد از او نیز هم چنان بر پا ماند .وی ریاضیات مخصوصا هندسه را بسیار عزیز می داشت تا جایی که بر سر در مکتب خود این جمله را حک کرده بود(هر کسی هندسه نمی داند وارد نشود) این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت.
انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود.

پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.

در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند.

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.

هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.

بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.

منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.
در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.

وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است.

دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست.

قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.

برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد.

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا 30 رقم اعشار آن را بدست آورد.

همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبة عددی را یک قدم قطعی بجلو برد.

کوپرنیک(1543_1473) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «دربارة دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومة شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست:
مرکز منظومة شمسی، خورشید است نه زمین.
در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.
زمین در هر 24 ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کرة ستاره‌های ثابت.

پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت.

پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد.
همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت.

جبر


جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه های زیادی است.تاریخچه این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل بر می گردد .
روش های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می گردیده است. در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.
کتاب جبر و المقابله ای خوارزمی اولین اثر کلاسیک در جبر می باشد که کلمه ی جبر یا Algebra از آن آمده است.خیام هم دیگر ریاضیدانان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمیز داده و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.
در قرن 16 میلادی، روش حل معادلات در جه سوم توسط دل فرو(Scipione del Ferro ) و معادلات درجه چهارم توسط فراری(Ludovico Ferrari ) کشف گردید
اواریست گلرا(Evariste Galois ) ریاضیدان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته های او سالها پس از مرگش، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضیدانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.
نیلزهنریک ایل(Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درج 5 به بالا بوسیلة رادیکالهای حل پذیر نیستند.
کارل فریدریش گارس(Carl Friedrich Gauss )ریاضیدان آلمانی که تأثیرات ژرفی در توسعة شاخه های مختلف برداشته، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهمترین آن همانا قضیه اساسی جبر می باشد.
پس از کارهای اویلر، لاگرانژ، گاوس، کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضیدانان تاریخ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظرهای شاخه هایی از این علم با شاخه هایی از هندسه، این علم در شاخه های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگترین پیشرفت های جبر و ریاضیات از این قرن، کلاس بندی گروههای سادة متناهی می باشد.

کلاس بندی
جبر مقدماتی: دراین شاخه از جبر ویژگیهای اصل چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می شود. علائمی تعریف می شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می گردد و روشهایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می گیرد.
جبر مجرد: این شاخه ساختار های جبری از قبیل گروهها، حلقه ها، و میدان ها تعریف می شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضیدانان معاصر خود به شاخه های مخلتفی تقسیم می شود:
جبر جابجایی
جبر ناجابجایی

زندگی کارل فریدریش گاوس
کارل فریدریش گاوس فرزند باغبان فقیری از اهالی برونشویک آلمان بود که در تاریخ 30 آوریل سال 1777 متولد شد پدرش مردی شرافتمندو مادرش زنی فعال و باهوش بود و گاوس بیش از سه سال نداشت که پدرش در اثر اشتباهی که در حساب ورقه ای بود مطلع ساخت و بدین ترتیب توانست استعداد فوق العاده خود را در محاسبه نشان دهد هنگامی که گاوس در مدرسه ابتدایی مشغول تحصیل بود و بیش از ده سال نداشت یک روز معلم او سر کلاس شاگردان را وادار نمود که مجموع سلسله ای از اعداد را با هم جمع کنند ولی هنوز صورت مسئله تمام نشده بود که گاوس ده ساله گفت من مسئله را حل کردم او متوجه شده بودکه اختلافات مابین دو اعداد از این سلسله مقدار پست ثابت و خود به خود دستوری برای مجموع این نوع سلسله اعداد بوجود آورد معلم او سخت متعجب شد و اظهار داشت که این کودک از من قوی تر است و من دیگر معلوماتی ندارم که به او بیاموزم گاوس در سال 1795وارد دانشگاه گوتینگن شد و در 19سالگی به حل بسیاری از مسائل که برای اویلر و لاگرانژ بی جواب مانده بود و موفق گردید گاوس نیز همچون ارشمیدس و دکارت و ایزاک نیوتن در کودکی دچار حادثه ای گردید که ممکن بود ریاضیات را از وجود او محروم سازد وی در اولین سالهای کودکی بود و طغیان آب ترعه ای را که از کنار خانه محقر ایشان می گذشت سرریز کرده بود کودک در کنار آب بازی می کرد در ترعه افتاد و چیزی نمانده بود که غرق شود و اگر برحسب تصادف کارگری که در آن نزدیکی بود وی را نجات نمی داد زندگانی گاوس به همین جا خاتمه می یافت. روز 30 مارس 1976 یکی از روزهای تاریخی دوران زندگی گاوس است در این روز یعنی درست یکماه قبل از اینکه 19 ساله شودگاوس بطور قطع تصمیم به مطالعه در ریاضیات گرفت از همین روز بود که وی دفتر یادداشت علمی خود را ترتیب داد که یکی از ذیقیمت ترین مدارک تاریخ ریاضیات می باشد و اولین مسئله ای که در آن ثبت شده است همین اکتشاف بزرگ او می باشد.این دفتر یادداشت فقط در سال 1898 در معرض مطالعه عموم قرار گرفت یعنی 43 سال بعد از وفات گاوس. گاوس در 9 اکتبر 1805 در 28 سالگی با یوهانااشتهوف از اهالی شهر براونشواریگ ازدواج می کند و در نامه ایی که سه روز بعد از نامزدی خود به دوست دانشگاهی خویش ولنگانگ بولیه نوشته است از خوشبختی خویش چنین گفتگو می کند. زندگانی هنوز به صورت بهار ابدی با رنگهای جدید و درخشان در مقابل من ایت از این ازدواج سه فرزند نصیب او شد یوزف و مینا و لودویگ نام داشتند زنش در 11 اکتبر 1809 بعد از تولد لودویک وفات یافت. اگرچه سال بعد( 4 اوت 1810) بخاطر کودکانش از نو ازدواج کرد ولی سالها بعد از زن اول خود با تأثیر بسیار گفتگو می کرد زن دوم او که میناوالدگ نام داشت دوپسر و یک دختر برایش آورد. فقر و تنگدستی گاس از یک طرف و فوت زنش از طرف دیگر بدبینی عجیبی در او بوجود آورد بطوریکه تا آخر عمر این بدبینی از او جدا نگردید ولی با وجود همه این گرفتاریها و در حالیکه نوشته بود مرگ بر این زندگی ترجیح دارد. تئوری اجسام آسمانی روی مقاطع مخروطی حل خورشید را انتشار داد و در سال 1811 مسیر ستاره دنباله دار عظیمی را محاسبه نمود و در همین سال تئوری متغیر موهومی را بیان کرد. ولی از دیگران مخفی نگهداشت بطوریکه کوشی ریاضی دان معروف دوباره مجبور به کشف آن شد و بدین ترتیب 50 سال علم ریاضی عقب بود. در سال 18333 تلگراف الکتریکی را ساخت و دو کتاب یکی در سال 1827 بنام تجسسات عممی درباره سطوح منحنی و یکی در سالهای 1843 و 1846 تحت عنوان تجسماتی درباره مسائل مربوط به مساحی عالمی منتشر ساخت و در این هنگام بود که تمام مردم معتقد بودند که گاوس بزرگترین ریاضیدان جهان است ولی گاوس به این افتخارات اهمیت نمی داد و هیچکس را نزد خود نمی پذیرفت و از خانه خارج نمی شد و تنها درمدت27 سال فقط یکبار برای شرکت در کنگره علمی به برلین مسافرت کرد. گاوس فقط با زنی بنام سوفی ژرمن اهل فرانسه ارتباط داشت این زن در سال 1816 از طرف آکادمی علوم پاریس به اخذ جایزه بزرگ ریاضیات نائل شد و گاوس به آثار والتر اسکات و ژان پول علاقه فراوان داشت در 70 سالگی به فکر آموختن زبان روسی افتاد گاوس اکتشاف خود را طی سال های 1796 تا1714 در 19 صفحه که شامل 146 اکتشاف مهم بود در سال 1898 منتشر ساخت این جزوه چندصفحه ای گنجینه بزرگی بود که دانشمندان را به کلی حیران نمود.
گاوس اکتشاف خود را همیشه بصور ت معما یادداشت می نمود و معتقد بود که فقط برای خود مطالعه می کند. وی هنگامی که در دانشگاه تحصیل می کرد کتاب خود را بنام تجسسات حسابی تمام کرد و تئوری اعداد را که تا آن زمان شکل واقعی به خود نگرفته بود بصورت دانش حقیقی درآورد لاگرانژ ریاضیدان معروف در مورد کتاب گاوس چنین اظهار داشته است. کتابی را بعنوان تجسسات حسابی منتشر نموده اید مقام علمی شما را تا ردیف بزرگترین ریاضیدانان جهان بالا برده است و قسمتی از آن که شامل اکتشافات تحلیلی است تاکنون نظیرش بوجود نیامده است. مقارن با انتشار کتاب گاوس در سال 1801 پیازی ستاره کوچک سرس را کشف نموده بود و منجمین درصدد محاسبه مدار آن برآمدند ولی محاسبه آن به استفاده از اعدادی منجر شد که چند کیلومتر طول داشتند و گاوس ریاست رصدخانه گوتینگن را به دست آورد. گاوس در سالهای آخر زندگی مورد توجه و محبت عمومی قرار داشت ولی آنقدر که شایستگی داشت از نعمت خوشبختی بهره مند نبود. درا بتدای سال 1855 کم کم از تصلب عضلات قلب و اتساع حفره های ریوی رنج می برد و آثار آب آوردن در او هویدا شد. آخرین نامه ای که نوشت خطاب به سردیویه یوستر« فیزیکدان انگلیسی» و درباره اکتشاف تگراف الکتریکی بود صبح روز 23 فوریه 1855 در سن 78 سالگی با آرامش کامل جان سپرد در قلمرو ریاضیات نام او تا ابد جاوید خواهد ماند.

تأملی بر سرگذشت اورایست گالوا، ریاضیدان بدشناس فرانسوی
ریاضیدانان بزرگ معمولاً سرگذشتی غیرداستانی دارند یا بطور دقیق تر، داستان زندگی آنها را نوآوری ها و دستآوردهای ریاضیاتشان تشکیل میدهد که غیر ریاضیدان ها به سختی می توانند آن را درک کند بزرگترین استثناء این قاعده اواریست گالوا است. آنچه از زندگی گالوا میدانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فیجعی کشته شود بلکه تراژدی را می توان بعنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظر نگرفتن و توجه نکردن به او نیز دانست.
اواریست گالوا را حتی کسانی که دستی بر ریاضیات دارند، هم نمی شناسند چه رسد به افراد عادی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ و مشهوری چون نیوتن، اویلر و ...... را می شناسند. اواریست گالوا را حتی دانشجویان هم بخوبی نمی شناسند.
« اواریست گالوا را بهتر بشناسیم .....
ریاضیدان نابغه فرانسوی(1832-1811) از بنیانگذاران جبر نوین و پایه گذار نظریه گروههاست. وی در عمر کوتاه خود( 21 سال) توانست شرایط امکان حد معادلات بوسیله رادیکالها را بررسی کند.
گالوا در نزدیکی پاریس از والدین تحصیل کرده متولد شد و پس از تحصیل نزد مادرش، در 12 سالگی وارد مدرسه شد. در کارهای جاری مدرسه میانه حال بود.
اثر لژاندر دست یافت تحت تأثیر آن قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک داستان خوانده است و با Elements de Geometrie هنگامی که به کتاب یک بار خواندن بر آن احاطه یافته است.
او سپس به کارهای لاگرانژ و آبل پرداخت و در سن 15 سالگی یک خواننده ی حرفه ای بود و خود شروع به کشفیات کرد. متأسفانه کارهایش منظم نبود. و اکثر محاسبات را ذهنی انجام داده و فقط نتایج را یادداشت می کرد.
او دوبار برای پذیرفته شدن در مدرسه ی پلی تکنیک تلاش کرد و به دلیل عدم آمادگی اساسی رد شد. دراین رد شدنها خسران زیادی برای علم ریاضیات بود زیرا این مدرسه که ریاضیدانان بزرگی را تربیت کرده بود می توانست استعداد گالو را کشف کند و محیط لازم را برای وی فراهم آورد.
با این حال گالوا به کشفیات در معادلات چندجمله ای ادامه داد و در سال 1829 بعضی از نتایجش را به آکادمی علوم تسلیم نمود. داور، گشی بودکه توانایی درک آنها را داشت، ولی گشی دستنویس های گالوا را گم کرد و دیگر پیدا نشد!! گالوای شعاع کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه ی بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. ولی « فوریدا » مقاله را با خود به خانه برد و قبل از خواندن آن مقاله فوت کرد . پس از این ماجرا،گالوا نسخه ی دوم مقاله اش را به آکادمی فرستاد اما این بار« پواسون» آن را خواند و آن را ناقص اعلام کرد.
به خاطر این وقایع یا بخاطر آنکه پدرش طرفداری جمهوری بود. گالوا به تنقید از رژیم بوربونها دست زد و به گارد ملی، یعنی سازمان جمهوریخواهان، پیوست. دراین زمان فرانسه گرفتار آشوب های سیاسی بود و گالوا مرتب به زندان می افتد. اما در سال 1832 آزاد شد. در همین زمان گرفتار عشق دختری شد. جزئیات این امر روشن نیست، اما یک چیز واضح است که او درگیر یک دوئل برای رسیدن به این دختر شد. گالوا تصمیم گرفت این دوئل را انجام دهد گالوا در شب قبل از مرگش در این دوئل می نویسد:« من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام..... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند. آه چرا باید برای یک موضوع بی ارزش بمیرم...» او همچنین نامه ای به دوستش نوشت و کشفیات خود را بطور خلاصه بیان کرد. این یک سند غم انگیز و دل خراش بجا مانده از گالوا است که در حاشیه اش نوشته:« من وقت ندارم». این سند که با خواهش از ژاکوبی یا گاوس برای اینکه نظرشان را "نه در مورد درستی بلکه در مورد اهمیت این قضایا" بیان می کنند پایان می یابد.
صبح روز بعد این دوئل انجام شد دوئل با طپانچه در 25قدمی صورت گرفت. تیر به شکم گالوا خورد و به زمین افتاد تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد او را به بیمارستان Montparmasse رساند . گالوا روز بعد یعنی31ماه می سال 1832 در سن 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

محمدبن موسی خوارزمی
محمدبن موسی خوارزمی از دانشمدان بزرگ ریاضی و نجوم می باشد شهرت علمی خوارزمی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات مخصوصاً در رشته جبر انجام داده بطوریکه هیچ یک از ریاضیدانان قرون وسطی مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته اند.
خوارزمی کارهای دیوفانتوس را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت، خود نیز کتابی در این رشته بنام(جبر و مقابله) نوشت معمولاً در حل معادلات دو عمل معمول است. خوارزمی این دو را تنفیح و تدوین کرد و از این راه به واردساختن جبر به مرحله علمی کمک شایانی انجام داد.
خدمات شایان دیگر خوارزمی به جهان علم این است که وی حساب هندی و ارقام هندی را در دنیای متمدن انتشار داد.
اروپائیان را با استعمال صفر برای نشان دادن مرتبه خالی آشنا ساخت. هنگامی که درقرن دوازدهم کتاب خوارزمی به زبان لاتین ترجمه شد این ارقام که به غلط در« ارقام عربی» نامیده می شوند از طریق آثار فیتونانجی به اروپا وارد گردید. همین ارقام است که انقلابی در ریاضیات بوجود آورد و هرگونه اعمال محاسباتی را مقدور ساخت. باری کتاب جبر و مقابله خورازمی قرنها در اروپا مأخذ و مرجع دانشمدان و محققین بوده و بوهاسن هبسبانیس و گراردوس کرمونسیس و رابرت جستری در قرن دوازدهم هر یک آن را به زبان لاتین ترجمه کردند. خوارزمی در سایر رشته های علوم و مخصوصاً نجوم هم کارهای جالب و سودمندی انجام داد. ازجمله دو کتاب در اصطرلاب نوشت.
اطلسی از نقشه آسمان و زمین تهیه کرد و نقشه های جغرافیایی بطلمیوس را اصلاح کرد.
آثار و تصنیفات خوارزمی
محمد بن موسی خوارزمی
این دانشمند بزرگ در سال 820- م ( در زمان خلافت بنی عباس در بغداد) در حدودبین سالهای 200-195 هجری کتابی به نام جبر و مقابله را نوشت که در آن به هیچ وجه از حروف و علامات استفاده نشده بود ولی حل معادلات را به دو طریق که ما امروز جمع جبری- عمل متشابه ونقل جمعی از یک طرف به طرف دیگر می نامیم انجام می داد. اگر نتوانیم محتوی این کتاب را هنوز علم جبر جدید بنامیم از آنجا که اساس این کتاب براستفاده از علائم اختصاری بوده است، میتوان لااقل پیدایش آن را یکی از مراحل مهم علم جبر دانست برای رسیدن به نتیجه قطعی فقط می بایست یک قدم برداشت از قرار معلوم این قدم چندان سهل نبوده است زیرا مدت هفت قرن و نیم طول کشید تا این کار آخری نیز انجام شد. بنابراین خوارزمی نخستین کسی است که علم جبر را پایه گذاری نموده و یکی از مراحل مهم این علم را پیدا نموده است. استخراج التاریخ زیج اول و زیج ثانی که این دو زیج بسند هند معروف و محل اعتماد اهل فن بوده است.
دیگر صوره الارض با رسم افریقیه می باشد و عمل الاسطرلاب مختصر من الحساب و الجبر والمقابله که در لندن چاپ شده که مشهورترین تألیفات اسلامی علم جبر همین کتاب جبر و مقاله خورازمی است که ظاهراً پس از اطلاع از علم جبر در یونان و ایران و هند جبر عربی را استخراج کرد همانطور که زیج خوارزمی جامع افکار و آرای علمای هند و ایران و یونان در آن موضوع می باشد و شارحین اسلامی کتاب خوارزمی را مکرر شرح داده اند. دیگر استخراج تاریخ الیهود و اعبادهم( تاریخ یهود و عبدهای آنان) بهرحال کتب یونانی( فلسفی و علمی) چون این علوم بیگانه به عربی ترجمه می شد و حساب هم جزء آن علوم ترجمه رایج گشت و مهندسان و هیئت شناسان حساب آموختند ولی کسی که فقط متخصص در حساب باشد میان مسلمانان کم بوده، از بزرگترین ما در تمدن اسلام آنکه حساب هندی و ارقام هندی را در دنیای متمدن انتشار دادند عربها این ارقام را هندی می گویند زیرا از هندیها آموخته اند و فرنگی ها آنرا عربی می نامند چون از عربها گرفته اند.
نخستین کسی که این ارقام را از هندی به عربی انتقال داد ابوجعفر محمدبن خوارزمی مذکور در فوق می باشد که او در جدولها رقم های هندسی را بکار برد و این کار در سال 197 هجری قمری انجام گرفت، این جدول ها مبناء و ماخذ کارهای منجمان بوده و از همان کلمه ی الخوارزم اروپائیان لفظ الگوریزم را ساخته اند. در زبانهای اروپایی که اساس محاسبه بر مبنای اعشاری ده را با الگوریتم می گویند اصل آن همان کلمه الخوارزمی است.
مسلمانان در وضع و شرح علوم از جمله علم جبر حق تقدم داشتند زیرا از ترجمه علوم یونانی، دو کتاب که در علم جبر که یکی تألیفات،دیوفانتوس و دیگری تألیف ابرخس بود و به عربی ترجمه شده بود بسیار ناچیز بوده است.
چنانکه اکنون علمای فن هم پس از بررسی و تحقیق در این موضوع تشخیص داده اند که دو کتاب مزبور( در عالم جبر) که از یونانی به عربی ترجمه شده چیز مهمی نبوده و اساس علم جبر را مسلمانان و عرب ها وضع کردند و اروپائیها علم جبر را از کتبی که مسلمین نوشته اند استفاده کرده اند.


عبارت جبری
به عبارت ریاضی که روی مجموعه اعداد بیان شده باشد، عبارت جبری گفته می شود. هر عبارت جبری شامل نمادها، و حرفهایی است که بیانگراعدادندو شامل نشانه های مربوط به روابط و عملیاتی است که باید روی آن اعداد عمل شود.( از این نظر که به کار بردن حروف و علامات نخستین بار در علم جبر معمول شده است در بعضی از نوشته ها، آثار، هر عبارت تحلیلی را عبارت جبری نامیده اند) در هر عبارت جبری، عددها، حرفهایی را که جا نگهدار عددهای معین و مشخص باشند مقادیر معلوم وحرف هایی را که نمایانگر عددهای غیرمشخص باشند مقادیر متغیر یا متغیرهای آن عبارت می نامند. به حرفهای نشان دهنده های مقادیر معلوم پارامتر نیز میگویند. هر عبارت جبری برحسب متغیرها، یا متغیرهای آن عدد می شود و برحسب تعداد متغیرها آن را عبارت یک متغیری،عبارت دومتغیری،.... یا عبارات چندمتغیری می نامند عبارت با یک متغیر x را با و عبارت با تغییر متغیرهای را با نشان می دهند مانند: