نامعادلات و نسبت های مثلثاتی


نماد علمی:
نماد علمی مدلی جدید برای عدد نویسی است که از آن برای سهولت بخشیدن به امر نوشتن و خواندن اعداد بسیار بزرگ و یا بسیار کوچک مانند محاسبة جرم سیارات و یا یک اتم از عنصر، استفاده می کنند.
نماد علمی اعداد مثبت را به صورت می نویسند که در آن K عددی است اعشاری بین یک و ده و n نیز عددی صحیح است.
مثال: اعداد زیر را به صورت نماد علمی بنویسد.
(الف (ب
نامعادله:
اگر یک نامساوی شامل متغیر باشد به آن نامعادله گفته می شود.
روش حل نامعادله:
حل نامعادله از بسیاری جهات شبیه حل معادله می باشد، ولیکن با این تفاوت که در حل نامعادله برای مجهول محدوده ای به عنوان پاسخ (جواب) بدست می آید و در معادله یک مقدار مشخص و معینی برای مجهول حاصل می گردد.
:مثال
قوانین و نکات مهم در مورد نامساوی
1-به طرفین یک نامساوی می توان عددی را اضافه و یا کم نمود.

2-می توان طرفین یک نامساوی را در عددی مثبت ضرب یا بر آن تقسیم کرد.

3-اگر طرفین یک نامساوی را در یک عدد منفی ضرب (تقسیم) کنیم جهت نامساوی عوض می شود.

4-اگر طرفین یک نامساوی هم علامت باشند (مثبت یا منفی باشند) و طرفین را عکس کنیم. جهت نامساوی عوض می شود.
حل نامعادلات کسری:
برای حل نامعادلات کسری مانند معادلات گویا عمل می کنیم. یعنی دو طرف نامعادله را در کوچکترین مضرب مشترک مخرجها ضرب می نمائیم تا نامعادله از حالت کسری به خطی درآید.

نامعادلات توأم: این گونه نامعادلات یا بصورت دو نامعادله مجزا می شوند و یا اینکه ما باید آنها را به صورت دو نامعادله مجزا درآوریم. و روش حل آن بدین صورت است که هرکدام از نامعادلات را حل نموده و در نهایت بعد از بدست آوردن پاسخ آنها، اشتراک جوابهای آن دو را به عنوان جواب یا پاسخ اصلی بیان می کنیم.

مثال: نامعادلات توأم زیر را حل نمائید.

مثلثات
درجه (D): اگر یک دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم؛ به هر قسمت یک درجه گویند.
گراد (G): اگر یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم؛ به هر قسمت یک گراد گویند.
رادیان (R): یک رادیان زاویه ای است که کمان مقابل به آن برابر شعاع دایره باشد. یعنی هر دایره رادیان است.
رابطة مقابل برقرار است
مثال 1:
100 گراد چند درجه و چند رادیان است؟

مثال 2:
مقدار زاویه ای را بر حسب رادیان بیابید که اگر به اندازه اش بر حسب درجه 15 واحد اضافه شود اندازة آن برحسب گراد بدست آید.

نسبتهای مثلثاتی:
برای بدست آوردن نسبتهای مثلثاتی، یک زاویه را با جهت مثبت محور xها درنظر می گیریم. و آنها را به صورت پائین تعریف می کنیم. «باید توجه داشت که نقطه A نقطه یا اختیاری برروی ضلع زاویه است و طول پاره خط OA برابر r فرض شده که همواره مثبت است»:

روش گرادیان


خلاصه :
در گذشته تعداد زیادی مدلهای مختلف با استفاده از مطالب مشاهده شده در جهت برآورد یا تنظیم ماتریسهای OD پیشنهاد شده بود . در حالیکه این مدلها از نظر فرمولاسیون ریاضی متفاوت بودند و از نظر تفسیر نیز متفاوت بودند . تمامی آنها در این حقیقت که استفاده از آنها برای شبکه های در اندازه واقعی مشکل است مشترک بودند . این ناشی از پیچیدگی محاسبات که در آنها درگیر است و احتیاج برای نرم افزار خیلی تخصصی برای انجام دادن آنها است .
در این مقاله ما یک مدل بر پایه گرادیان که قابل اعمال در شبکه های در بعد بزرگ است ارائه می کنیم . از نظر زیاضی مدل به شکل یک مسئله حداقل سازی محدب در جائیکه توسط دنبال کردن جهت نزولی ترین شیب ما می توانیم تضمین کنیم که ماتریس OD اصلی بیش از حد لازم تغییر پیدا نکرده است ، فرموله شده است .
ما نمایش می دهیم که چگونه این تنظیم مدل درخواستی می تواند بدون احتیاج به گسترش هیچگونه نرم افزار جدید اجرا شود . بلکه تنها توسط استفاده از اقلام موجود از یک بسته برنامه ریزی حمل و نقل قابل اجرا خواهد بود . از آنجائیکه یک قلم از مراحل تنظیم اساساً در دو انتخاب تعادلی در شبکه م.ورد نظر وجود دارند ، این روش حتی در شبکه ها و ماتریس ها در مقیاس بزرگ قابل اعمال است . تا به اینجا ، مدلها بطور موفقی در چندین پروژه ملی و شهری در سوئیس ، سوئد و فنلاند با استفاده از شبکه هایی تا حد 522 منطقه ترافیکی و 12460 سفر اعمال شده است . برخی از نتایج این مطالعه نشان داده خواهد شد .
کلمات کلیدی : برآورد ماتریس O-D ، انتخاب تعادلی ، روش گرادیان .

مقدمه :
تقریباً در تمامی کاربردهای برنامه ریزی حمل و نقل ، اطلاعات ورودی که بدست
می آید نشان از همه چیز مشکل تر و گران تر است . ماتریس درخواست مبدا - مقصد است . از آنجائیکه اطلاعات درخواستی بطور مستقیم قابل مشاهده نیست ، باید توسط تحقیقات دقیق و گران قیمت جمع آوری شود که درگیر با مصاحبه های در منزل و در جاده ها یا روشهای پیچیده علامت گذاری یا نشانه گذاری است . برعکس حج سفرهای مشاهده شده به آسانی و با دقت قابل قبولی توسط شمارش در نقاط خاصی از سفر یا دستی یا اتوماتیک با استفاده از دستگاههای شمارنده مکانیکی یا القایی قابل بدست آمدن است . بنابراین تعجب آور نیست که مقدار چشم گیری از تحقیقات در جهت بررسی احتمال برآورد یا بهبود یک ماتریس درخواست مبدا - مقصد با
حجم های مشاهده شده روی سفرهایی در شبکه مورد نظر انجام می شود .
تعداد زیادی از مدلها در گذشته پیشنهاد شده است . Vanvilet - (1980) willumsen , vanzuylen و (1981)willumsen - (1982)Nguyen - Vanzuylen و Branston (1982) - (1987)spiess . این مدلها در حالیکه خیلی از لحاظ تئوریکی جالب هستند ، تاکنون از لحاظ عملی ارتباط کمی داشته اند . این ناشی از زمان زیادی است که صرف محاسبات می شود و کاربرد در مسائل در بعد کوچک است . آنچه که ما خیلی خوب می دانیم این است که هیچکدام از این روشها بطور موفق به شبکه های در ابعاد وسیع و بزرگ با صدها منطقه ترافیکی و هزاران سفر شبکه ای اعمال نشده است . اکثر این روشهای سنتی به شکل مسائل اپتیمم سازی که در آنها تابع هدف هماهنگ با برخی توابع فاصله بین یک ماتریس درخواست اولیه و درخواست نتیجه شده g قابل فرموله شدن هستند . سپس مسائل محدود کننده در جهت نزدیک کردن حجم های انتخاب شده به حجم های مشاهده شده در نقاط شمارش استفاده می شوند . (توجه داشته باشید که برخی فرمولاسیون ها VanZuylen و (1982)Branston مسائل محدود کننده در آنها دخیل می شوند و بنابراین بعنوان اصطلاحات اضافی در توابع هدف ظاهر می شوند . )
در بخشهای زیر ما یک مدل جدید که مناسب برای کاربردهای در مقیاس بزرگ است را تشریح می کنیم . ما نشان می دهیم که چگونه این مدل بدون احتیاج به گسترش هیچگونه برنامه جدیدی قابل اجرا است ، اما به جای آن با استفاده از نسخه استاندارد از بسته برنامه ریزی حمل و نقل EMME/2 استفاده می شود . در نهایت ما نتایج برخی کاربردهای در مقیاس شهری و ملی را که در آنها مدل جدید ما اخیراً استفاده شده را خلاصه می کنیم .

روش گرادیان :
در این مقاله یک نوع جدید از مدلها پیشنهاد شده است . همچنین بعنوان یک مسئله اپتیمم سازی فرموله شده است . اما در اینجا تابع هدف برای اینکه حداقل سازی شود آنرا در فاصله بین حجمه ی مشاهده شده و انتخاب شده در نظر گرفته ایم . آسان ترین تابع از این نوع جذر جمع اختلاف ها ، که به مسئله حداقل سازی هدایتمان می کند می باشد .

کاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین


- مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل کرد. در این متن فن کلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم. علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تکین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تکین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به کار رفته است. در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه می‌شود.


2- مقدمات ریاضی :
به طور کلی هدف این متن عبارت است از کاربرد فن LP- تقریب در حل یک معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت

در معادلة بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی که تابع مجهول است که باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است. مساله کلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
تابع f معین روی یک بازة حقیقی مانند x همراه با یک تابع تقریب مانند F(A)، که به متغیر n پارامتری A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است که باید برداری مانند به گونه ای بیابیم که به ازای هر رابطة :

برقرار باشد.
جنبة اصلی مساله که باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یک مساله LP- تقریب است. برای این منظور، فرض کنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، که ممکن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد. اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطة زیر به دست می‌آید:

در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بیان کرد که در آن F(A,x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a,b] تعریف شده است. توجه داشته باشید که می‌توان عبارت

را تابعی مانند تلقی کنیم که فقط به A بستگی دارد. پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یک مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an,...,a1 در نظر گرفت. بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود. در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امکان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعة درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [19] , [18] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:
مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد. برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر می‌شود به مسألة کمترین مربعات. دلیلی وجودندارد که مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم. حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی که حالت P=1 کمتر آشناست. بنابراین احساس می‌شد که این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی که در انتگرالده ایجاد می شود) باشد. توجه داشته باشید که خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد. در روش عددی ای که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.


3- شیوة عددی و مثال ها :
فن عددی در اصل از دو شیوة عددی تشکیل شده است، یعنی شیوة مینیمم سازی و شیوة انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیک الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد. الگوریتم UMPOL در IMSL Library که بر پایة روش «سیمپلکس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [37] تالیف Press مراجعه کنید)، که گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد که بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد. در واقع ماشین سر به زیری است که معمولاً مقدار مینیمم یک تابع را به درستی می‌یابد . همچنین
De Klerk در [20] متذکر شده است که روش لووس- جاکولا [34] نیز روشی قوی است که به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی که با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن کوادراتور اتوماتیکی که ونتر و لاوری [3] با یک انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام می‌شود. برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویة انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [35] Piessens ). در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا می‌شوند که از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌کنیم.
در [20] ذکر شده است که ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان کرده اند، همچنین در پایان نامه دکتری ونتر نیز از بکارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [8].
De Klerk در [18] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده،‌ در ساختن جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بکار برد).
با اینکه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یک تابع تقریب لازم است اما این امر موجب کنار گذاردن روش مذکور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (1- ) پارامتر به سمت یکی از مقادیر ویژه مسأله میل می‌کند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم :

که در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور کلی یک و فقط یک جواب دارد. تنها استثنا وقتی است که یکی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد که در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد کارایی فن مذکور را نشان می‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.