مقاله بررسی علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ویرایش

فهرست مطالب
عنوان صفحه

تاریخچه................................................................................................................. 1

احتمال.................................................................................................................... 4
احتمال نظری......................................................................................................... 5

احتمال تجربی........................................................................................................ 5

احتمال ذهنی.......................................................................................................... 6

محاسبه احتمال...................................................................................................... 6

جمع حوادث سازگار............................................................................................. 7

ضرب حوادث مستقل............................................................................................ 7

ضرب حوادث وابسته............................................................................................ 8

اصول اساسی قانون ضرب.................................................................................. 9

جایگشت (تبدیل)..................................................................................................... 11

ترتیب..................................................................................................................... 13

قاعده ترتیب........................................................................................................... 14

ترکیب.................................................................................................................... 15
ویژگیهای ترکیب.................................................................................................... 18
توصیف احتمال یک حادثه..................................................................................... 18
خلاصه................................................................................................................... 19



تاریخچه

هیچ کس نمی داند که اعتقاد به شانس برای نخستین بار در چه زمانی و مکانی مطرح شد. در هر حال این امر در دوران ماقبل تاریخ ریشه دارد. با این حال، اسناد کافی نشان می دهد که انسانهای اولیه برای توجیه حوادث تصادفی به وسایلی متوسط می شده اند. برای مثال در آسیای صغیر در آیین پیشگویی مرسوم بود که پنج قاپ را بیندازند. ترتیب ممکن از قاپها، نام خدایی را به همراه داشت (مارکس و لارسن، 1990). برای مثال چنانچه ترتیب (4، 4، 3، 1) به دست می آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن یک شماره اختصاص داده می شد). گفته می شد زئوس منجی آمده است و چنین ترتیبی پنشانی از قوت قلب تلقی می شد و تفسیر آن این بود که آنچه در سر داری،‌ بی مهابا به انجام برسان. یا اگر ترتیب 4، 4، 4، 6، 6 ظاهر می شد معنای آن این بود که در خانه ات بمان و به هیچ کجا مرو.

به تدریج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشین قاپ شد. در مقبره های مصر که 2000 سال پیش از میلاد مسیح ساخته شده اند، تاسهای سفالی به دست آمده اند. متداول ترین تاس بازی آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازانی که از جنگهای صلیبی بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق برای نخستین بار در قرن چهاردهم رواج پیدا کرد.

مورخان در مورد این که اعتقاد به احتمال شروع نامشخصی دارد اتفاق نظر دارند. شاید دلیل این امر ناسازگاری آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، یعنی فلسفه یونان و خداشناسی مسیحیان در صدر مسیحیت باشد. یونانیان به عقیده شانس اکتفا می کدرند در صورتی که مسیحیان چنین اعتقادی نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاک برداشت. سازماندهی و احیا آن توسط جرولامو کاردان انجام گرفت. علاقه کاردان که ظاهراً تحصیلاتی در رشته پزشکی داشت، به قوانین احتمال، ناشی از میل وافر او به قمار بود. او در صدد دستیابی به یک الگوی ریاضی بود تا با کک آن بتواند حوادث اتفاقی را تشریح کند. آنچه که او سرانجام تدوین کرد تعریف کلاسیک احتمال است. به این صورت که در صورتی که تعداد نتایج ممکن حادثه ای که همه دارای احتمال یکسان هستند را با n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از n نتیجه ممکن اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی است. برای مثال در صورتی که تاسی بدون اریبی باشد،‌ 6 ممکن (6= n) خواهد شد (نتایج 5 و 6) و احتمال 5 یا بزرگتر از آن مساوی یا خواهد بود.

کاردان ابتدایی ترین اصول احتمال را مطرح کرده بود. الگویی که او کشف کرده بود ممکن است پیش پا افتاده به نظر برسد اما حاکی از گامی عظیم بود. بسیاری از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال 1654 می دانند. در پاریس قمار باز ثروتمندی به نام شوالیه دمور از چند ریاضی دان برجسته از قبیل بلز پاسکال سوالهایی پرسید که معروفترین آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت می کنند که بدون تقلب مجموعه ای بازی را تا زمانی که یک نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر کدام از این دو نفر بر سر مبلغ یکسانی شرط بندی می کنند با این قصد که برنده کل، تمام مبلغ شرط بندی (بانک) را برنده شود. حال فرض کنید به هر دلیلی این بازیها قبل از موقع پایان پذیرد، مثلا در نقطه یا مرحله ای که فرد الف 5 دست و فرد ب 3 دست برنده شده باشد. در این مرحله یا نقطه از بازی، پول شرط بندی شده چطور باید تقسیم شود؟ پاسخ صحیح این است که فرد الف باید کل مبلغ شرط بندی شده را دریافت کند. چرا مبلغ شرط بندی شده باید به این ترتیب تقسیم شود؟

با طرح سوالهای دمور، حس کنجکاوی پاسکال برانگیخته شد و نظر خود را با پیر فرما، کارمند دولت و احتمالاً برجسته ترین ریاضی دان اروپا، در میان گذاشت. فرما با روی گشاده از نظر پاسکال استقبال کرد و از همان موقع بود که نظریه معروف تناظر پاسکال- فرما نه تنها برای حل مسائل نقاط مطرح شد بلکه شالوده ای برای کارهای اساسی تر گردید.خبر آنچه که فرما و پاسکال یافته بود انتشار یافت و دیگران هم به مطالعه این مساله پرداختند. معروفترین آنها دانشمند و ریاضی دان هلندی کریستیان های جنز است که نام او بیشتر به خاطر کارهایش در نورشناسی و نجوم در خاطرها مانده است. توجه های جنز در همان اوایل کارش به مسائل نقاط جلب شد. وی در سال 1657 کتاب محاسبات در بازیهای احتمالی را منتشر ساخت که قریب 50 سال به عنوان کتاب درسی درباره نظریه احتمال تدریس می شد (لارسن و مارکس، 1990). طرفداران های جنز او را بنیانگذار احتمالات می دانند.


احتمال

مفهوم احتمال به صورتهای مختلف در زندگی به کار برده می شود، احتمال به صورت کلی به درست نمایی اتفاق افتادن حادثه تعریف شده است. این درست نمایی غالباً با P نشان داده میشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه ای که انتظار وقوع آن می رود. ارزش مقداری احتمال بین صفر تا 1 قرار دارد. ارزش 1 برای پیشامد حتمی و ارزش صفر برای نشان دادن اینکه شانس یا احتمال وقوع حادثه معینی وجود ندارد، به کار برده می شود. در زندگی حوادث نادری وجود دارند که احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمی است. به طور کلی، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقیق و روشن تعریف شوند، احتمال وقوع یک حادثه معین، P ، مساوی است با تعداد شیوه هایی که آن حادثه اتفاق می افتد تقسیم بر تعداد کل حالتها. به عبارت دیگر، P مساوی است با تعداد حالتهای مساعد تقسیم بر مجموع کل حالتها. برای مثال، در صورتی که تاس بدون اریبی را رها کنیم احتمال این که هر یک از شش وجه آن به زمین بنشیند مساوی است و احتمال این که هر یک از شماره های 2، 4 یا 6 به زمین بنشیند مساوی یا 5/0 است.

همان طور که گفته شد احتمال وقوع حادثه معینی را با P نشان می دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان می دهند. مجموع P و q همیشه مساوی یک است (p+q=1). برای مثال، در صورتی که سکه بدون اریبی را پرتاب کنیم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن یا 5/0 است و جمع این دو احتمال مساوی 1 است (p+q=1). در صورتی که وقوع یک حادثه در احتمال وقوع حادثه دیگر تاثیری نداشته باشد، آنها را مستقل گویند. حوادث مرکب به حوادثی گفته می شوند که از دو یا چند حادثه ساده تشکیل شده باشند، مانند امکان آمدن دو تا 4 در دو مرتبه انداختن تاس.
احتمال نظری

فرض کنید تاسی را رها کرده‌اید چون این تاس دارای 6 وجه است و احتمال آمده هر کدام از وجوه آن نیز مساوی است بنابراین احتمال آمده هر یک از وجوه این تاس مساوی است. این احتمال را نظری می‌نامند زیرا بر اساس مفروضه‌های نظری محاسبه می‌شود. برای مثال در صورتی که در یک مسابقه ورزشی برای پیروزی تیمی 4000 ریال به 1000 ریال شرط بندی کنیم، در این شرط بندی نظر ما این است که 4 به یک به نفع ما خواهد بود، یعنی در نظر ما، تیمی که طرفدار آن هستیم از پنج بازی، امکان چهار موفقیت دارد. بنابراین احتمال اینکه تیم مزبور برنده شود، یا 8/0 است. این امکان بیشتر جنبه نظری دارد.

ویژگیهای ترکیب

نماد nCr دارای ویژگیهای جالبی است . یکی از معروفترین آنها مثلث پاسکال است که یک آرایش عددی است که در آن هر عدد برابر با مجموع دو عددی است که در دو گوشه فوقانی آن قرار دارد. چنانچه ردیفها و ستونها را شماره گذاری کنیم. به این ترتیب که در راس مثلث از صفر شروع کنیم و شماره گذاری ستونها را از چپ به راست انجام دهیم، هر عدد را می توان با نماد nCr جایگزین کرد.

ویژگی دوم آن عبارت از این است که اگر در فرمول nCr ترکیبهای (n-r) به (n-r) از n حرف را در نظر بگیریم رابطة زیر همواره وجود خواهد داشت:

n-rCr = nCr

ویژگی سوم . همواره داریم:

nCr+ nCr-1 = n+1Cr

در صورتی که در معادله فوق 1= r باشد، رابطه زیر حاصل خواهد شد:

0 nCr+ nC = n+1Cr

چنانچه r=n باشد ویژگی دوم به صورت زیر خواهد شد:

1 = 0 nC = nCr
توصیف احتمال یک حادثه

در اصطلاح احتمالات، مجموعه از نتایج ممکن همراه با هر آزمایش، فضای نمونه (S) نامیده می شود و به مجموعه ای از نتایج متعلق به فضای نمونه که برای بعضی شرایط لازم یا کافی است واقعه گفته می شود. احتمال حادثه ای نظیر A را با P(A) نشان می دهند. فرض کنید سکه ای را به هوا پرتاب کرده ایم. فضای نمونه مساوی 2 است، زیرا هر یک از دو طرف سکه می تواند بر زمین بنشیند. A نشان دهنده واقعه موردنظر، شیر یا خط است . احتمال واقعه A مساوی یک دوم است. بنابراین می توان نوست: و لی چگونه می توان این احتمال را تفسیر کرد؟ آیا این بدین معنیا ست که از هر دوبار انداختن سکه،‌یک بار روی آن می آید؟ البته خیر. نکته ای که بیان می‌کند این است چنانچه سکه سالمی را به دفعات متعدد رها سازیم، نسبت نشستن خط به مجموع حالات ممکن مساوی است.

خلاصه

هیچ کس نمی داند که شانس در چه زمان و مکانی برای اولین بار مطرح شد. احتمال شروع نامشخصی دارد. احتمال در قرن شانزده مطرح گردید و سازماندهی آن توسط جرولامو کاردان صورت گرفت. در صورتی که تعداد نتایج ممکن حادثه ای را به n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از این n نتایج اتفاق بیفتد،‌ احتمال آن حادثه مساوی است. امروزه احتمال به شکلهای مختلف به کار برده می شود و به طور کلی عبارت است از درست نمایی اتفاق افتادن یک حادثه معین. این درست نمایی با P نشان داده می شود و مقدار آن بین صفر تا 1 قرار دارد. احتمال دارای شکلهای مختلفی است. احتمال نظری براساس مفروضات نظری تعریف و تعیین می شود. احتمال تجربی که برپایه مفروضات تجربی قرار دارد و احتمال ذهنی که برای محاسبه احتمالهای روزمره به کاربرده می شود، بر دلایل ذهنی مبتنی است.

در احتمال ، محاسبات براساس دو قانون جمع و ضرب انجام می شود. قانون جمع زمانی به کار برده می شود که یکی از دو حادثه اتفاق بیفتد، در صورتی که از ضرب در شرایطی استفاده می شود که دو حادثه با هم اتفاق بیفتند. قانون جمع برای دو حادثه ناسازگار (حوادثی که وقوع یکی از آنها وقوع دیگری است) عبارت است از:

P(A)+P(B)= (B یا A)P در صورتی که این قانون برای حوادث سازگار (که امکان وقوع آنها به صورت همزمان وجود دارد) به صورت:

P(A)+P(B)-P(A,B)= B) یا P(A نوشته می شود. چنانچه دو حادثه مستقل (یعنی حوادثی که وقوع یا عدم وقوع هر یک در احتمال وقوع یا عدم وقوع حادثة دیگر تأثیر ندارد) داشته باشیم، احتمال این که هر دو تای آنها اتفاق بیفتد مساوی حاصل ضرب احتمال وقوع هر یک از آنها است. P(A)* P(B)= (B یا A)P . در صورتی که دو حادثه وابسته باشند (یعنی احتمال وقوع یکی به احتمال وقوع یا عدم وقوع دیگری بستگی داشته باشد)،احتمال آن که هر دوی آنها اتفاق بیفتند مساوی است با P(A)* P(B)= (B یا A)P .

در صورتی که شیوه های ممکن در انجام مراحل متوالی کاری را به nk , … , n2, n1 نشان دهیم، ترتیب اجرای مراحل از n1 تا k مساوی است با nk … * n3 * n2 * n1 . تعداد گروههای حاصل از تبدیل یا جایگشت (شیوه های مختلف قرار گرفتن افراد یا اشیا در کنار هم) عبارت است از: Pn = n! .