تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

1.1. اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin1⁰، cos15⁰،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A₁ به نقطه A₂ حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

(1) عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2) اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP₁ در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با P_t نشان داده و عدد t را با نقطه P_t روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه P_t تصویر نقطه A=P₀ خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که P_t نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P^-1(P_t) نقطه P_t با مجموعه تطابق دارد.

• داده کاوی: مفاهیم، روشها، کاربردها، آینده
• مقدمه

معرفی داده‌کاوی و دلایل پیدایش آن

تعاریف داده کاوی

جایگاه داده‌کاوی در علوم کامپیوتر

• · طبقه بندی روش های داده کاوی

1. داده کاوی توصیفی یا توصیف کننده

2. داده کاوی پیشگویانه

• · مراحل و اجزای یک فرآیند داده‌کاوی

1. بیان مسئله و فرموله کردن فرضیه

2. انتخاب و جمع آوری داده ها

3. تبدیل و پیش پردازش داده ها

4. برآورد مدل یا کاوش در داده ها

5. تفسیر نتیجه یا تفسیر مدل و رسیدن به نتایج

• · آماده سازی داده ها

1. مدل استاندارد داده ها

2. دو وظیفه اصلی در آماده سازی داده ها

• · تبدیل و تغییر وضعیت داده های خام

1. نرمال سازی

1-1 مقیاس دهی اعشاری

2-1 نرمال سازی حداقل-حداکثر

3-1 نرمال سازی انحراف معیار

2. یکنواخت سازی داده ها

3. تفاضل ها و نسبت ها

• · مفهوم داده های از دست رفته و راه حل جبران داده های از دست رفته
• · مفهوم و روش های تشخیص داده های نامنطبق

1. روش های آماری 2. تشخیص داده های نامنطیق برمبنای فاصله 3. روش ها و تکنیک های برمبنای انحراف

• · کاهش داده ها

1. 1. اعمال اصلی در فرایند کاهش داده ها
2. 2. یافته های حاصل از کاهش داده ها

2-1 کاهش زمان محاسبه.

2-2 افزایش یادگیری در دقت پیشگویانه/توصیفی.

2-3 سادگی در ارائه مدل داده کاوی.

• · روش های نمونه گیری برای نمونه های بزرگ

1. نمونه گیری سیستمی.

2. نمونه گیری تصادفی.

3. نمونه گیری لایه ای.

4. نمونه گیری معکوس.

مقدمه

امروزه با گسترش سیستم های پایگاهی و حجم بالای داده ها ی ذخیره شده در این سیستم ها، نیاز به ابزاری است تا بتوان داده های ذخیره شده پردازش کرد و اطلاعات حاصل از این پردازش را در اختیار کاربران قرار داد.

با استفاده ار پرسش های ساده درSQL و ابزارهای گوناگون گزارش گیری معمولی، می توان اطلاعاتی را در اختیار کاربران قرار داد تا بتوانند به نتیجه گیری در مورد داده ها و روابط منطقی میان آنها بپردازند اما وقتی که حجم داده ها بالا باشد، کاربران هر چقدرحرفه ای و با تجربه باشند نمی توانند الگوهای مفید را در میان حجم انبوه داده ها تشخیص دهند و یا اگر قادر به این کار هم با شند، هزینه عملیات از نظر نیروی انسانی و مالی بسیار بالا است.

بنابراین میشود گفت که درحال حاضر یک تغییر الگو از مدل سازی و تحلیل های کلاسیک برپایه اصول اولیه به مدل های درحال پیشرفت و تحلیل های مربوط بطور مستقیم از داده ها وجود دارد.

داده کاوی یکی از مهمترین این روشها است که به وسیله آن الگوهای مفید در داده ها با حداقل دخالت کاربران شناخته می شوند و اطلاعاتی را در اختیار کاربران و تحلیل گران قرار می دهند تا براساس آنها تصمیمات مهم و حیاتی در سازمانها اتخاذ شوند.

تعاریف داده کاوی

در متون آکادمیک تعاریف گوناگونی برای داده کاوی ارائه شده اند. در برخی از این تعاریف داده کاوی در حد ابزاری که کاربران را قادر به ارتباط مستقیم با حجم عظیم داده ها می سازد معرفی گردیده است و در برخی دیگر، تعاریف دقیقتر که درآنها به کاوش در داده ها توجه می شود موجود است.

برخی از این تعاریف عبارتند از :

1. داده کاوی عبارت است از فرایند استخراج اطلاعات معتبر، از پیش ناشناخته، قابل فهم و قابل اعتماد از پایگاه داده های بزرگ و استفاده از آن در تصمیم گیری در فعالیت های تجاری مهم.
2. فرایند نیم خودکار تجزیه و تحلیل پایگاه داده های بزرگ به منظور یافتن الگوهای مفید اطلاق می شود.
3. داده کاوی یعنی فرایند جستجو در یک پایگاه داده ها برای یافتن الگوهایی میان داده ها.
4. داده کاوی یعنی تجزیه و تحلیل مجموعه داده های قابل مشاهده برای یافتن روابط مطمئن بین داده ها.
5. داده کاوی یعنی استخراج دانش کلان ، قابل استناد و جدید از پایگاه داده ها ی بزرگ.

نکته: همانگونه که در تعاریف گوناگون داده کاوی مشاهده می شود، تقریبا در تمامی تعاریف به مفاهیمی چون استخراج دانش ، تحلیل و یافتن الگوی بین داده ها اشاره شده است.

" داده کاوی فرآیندی است که طی آن با استفاده از ابزار های تحلیل داده به دنبال کشف الگوها و ارتباطات میان داده های موجود که ممکن است منجر به استخراج اطلاعات جدیدی از پایگاه داده گردند، می باشد."

در داده کاوی از بخشی از به نام تحلیل اکتشافی داده ها استفاده می شود که در آن بر کشف اطلاعات نهفته و ناشناخته از درون حجم انبوه داده ها تاکید می شودبنابراین می توان گفت در داده کاوی تئوریهای پایگاه داده ها، هوش مصنوعی، یادگیری ماشین وعلم آمار را در هم می آمیزند تا زمینه کاربردی فراهم شود.

باید توجه داشت که اصطلاح داده کاوی زمانی به کار برده می شود که با حجم بزرگی از داده ها در حد گیگابایت یا ترابایت، مواجه باشیم که از این نظر یکی از بزرگترین بازارهای هدف، انبارجامع داده ها، مراکز داده وسیستم های پشتیبانی تصمیم برای بدست آوردن تخصص هایی در صنایعی مثل شبکه های توزیع مویرگی، تولیدف مخابرات، بیمه و... می باشد.

مقدمه ای بر رباتیک

-1مقدمه

اتوماسیون در بخشهای مختلف صنعت و کارهای تولیدی در چند دهه اخیر ظهور پیدا کرده است و روز به روز نیز در حال توسعه می باشد. بیش از چند دهه از ظهور کارخانجات کاملاً مکانیزه که در آنها تمامی پروسه ها اتوماتیک بوده و نیروی انسانی در آن نقش اجرائی ندارد، نمی گذرد. اما در چند ساله اخیر شاهد بوجود آمدن کارخانجات مکانیزه ای بوده ایم که طراحی، ساخت و نحوه کار آنها واقعاً حیرت انگیز است. ایده و دانش کنترل اتوماتیک و استفاده از سیستمهای مکانیزه در کارخانجات به جنگ جهانی دوم می رسد. ما تحولات عظیم و چشمگیر آن در سالهای اخیر بوقوع پیوسته است.

رباتها جدیدترین مرحله تلاش انسان جهت صنایع اتوماتیک به شمار می روند. رباتها آن دسته از ماشینهای ساخت بشر هستند که لزوماً حرکتهایی شبیه انسان ندارند ولی توان تصمیم گیری و ایجاد و کنترل فعالیتهای از پیش تعیین شده را دارند.

شکل 1 : نمونه ای از استفاده از ربات در صنعت

2- تعریف ربات

دو تعریف موجود در رابطه با کلمه ربات از قرار زیر می باشند[9] :

1- تعریفــی که توسطConcise Oxford Dic. صورت گرفتــه است؛ ماشینی مکانیکی با ظاهر یک انسان که باهوش و مطیع بوده ولی فاقد شخصیت است. این تعریف چندان دقیق نیست، زیرا تمام رباتهای موجود دارای ظاهری انسانی نبوده و تمایل به چنین امری نیز وجود ندارد.

2- تعریفی که توسط مؤسسه ربات آمریکا صورت گرفته است؛ وسیله ای با دقت عمل زیاد که قابل برنامه ریزی مجدد بوده و توانایی انجام چند کار را دارد و برای حمل مواد، قطعات، ابزارها یا سیستم های تخصصی طراحی شده و دارای حرکات مختلف برنامه ریزی شده است و هدف از ساخت آن انجام وظایف گوناگون می باشد.

3- دسته بندی رباتها

رباتها در سطوح مختلف دو خاصیت مشخص را دارا می باشند :

1- تنوع در عملکرد

2- قابلیت تطبیق خودکار با محیط

به منظور دسته بندی رباتها لازم است که قادر به تعریف و تشخیص انواع مختلف آنــــــها باشیم. سه

دسته بندی مختلف در مورد رباتها وجود دارد. دسته بندی اتحادیــــــه رباتهای ژاپنی، دسته بندی

مؤسسه رباتیک آمریکا و دسته بندی اتحادیه فرانسوی رباتهای صنعتی.[9]

1-3-دسته بندی اتحادیه رباتهای ژاپنی

انجمن رباتهای صنعتی ژاپن، رباتها را به شش گروه زیر تقسیم می کند :

1- یک دست مکانیکی که توسط اپراتور کار می کند : وسیله ای است که دارای درجات آزادی متعدد بوده و توسط عامل انسانی کار می کند.

2- ربات با ترکیبات ثابت : این دسته رباتها با ترکیبات ثابت طراحی می شوند. در این حالت یک دست مکانیکی کارهای مکانیکی را با قدمهای متوالی تعریف شده انجام می دهد و به سادگی ترتیب کارها قابل تغییر نیست.

3- ربات با ترکیبات متغیر : یک دست مکانیکی که کارهای تکراری را با قدمهای متوالی و با ترتیب تعریف شده، انجام می دهد و این ترتیب به سادگی قابل تغییر است.

4- ربات قابل آموزش : اپراتور در ابتدای امر به صورت دستی با هدایت یا کنترل ربات کاری را که باید انجام شود، انجام می دهد و ربات مراحل انجام وظیفه را در حافظه ضبط می کند. هر وقت که لازم باشد، می توان اطلاعات ضبط شده را از ربات درخواست نمود و ربات وظیفه درخواست شده را بصورت خودکار انجام می دهد.

5- ربات با کنترل عددی : اپراتور وظیفه ربات را توسط یک برنامه کامپیوتری به او تفهیم می نماید و نیازی به هدایت دستی ربات نیست. درواقع ربات با کنترل عددی، رباتی است که با برنامه کامپیوتری کار می کند.

6- ربات باهوش : این ربات درک از محیط و استعداد انجام کار با توجه به تغییر در شرایط و محدوده عمل کار را دارد.

2-3- دسته بندی مؤسسه رباتیک آمریکا

انستیتوی رباتیک آمریکا تنها موارد 3 و 4 و 5 و 6 را به عنوان ربات پذیرفته است.

3-3- دسته بندی اتحادیه فرانسوی رباتهای صنعتی

مؤسسه ربات صنعتی فرانسوی، رباتها را به شکل زیر تقسیم کرده است :

نوع A : دستگاهی که توسط دست یا از راه دور کنترل می شود (مورد 1 طبقه بندی قبل).

نوع B : وسیلة حمل کننده خودکار با یک سیکل محاسبه شده از قبل (موارد 2 و 3 طبقه بندی قبل).

نوع C : دستگاهی قابل برنامه ریزی و با توانایی خود کنترل (موارد 4 و 5 طبقه بندی قبل).

نوع D : دستگاهی که قادر است اطلاعات معینی از محیط را بدست بیاورد و به عنوان ربات باهوش معروف است (مورد 6 طبقه بندی قبل).

4- اجزاء اصلی یک ربات

مهندسی ربات، مهندسیهای نرم افزار، سخت افزار، برق و مکانیک را در خدمت خود گرفته است. بعضی مواقع این علوم به حد کافی پیچیده می باشند. همچنانکه در شکل 2-2 مشاهده می شود هر ربات دارای 5 مؤلفه به شرح ذیل می باشد [9]و[15]:

1-4- بازوی مکانیکی ماهر(Mechanical Manipulator)

بازوی مکانیکی شامل چندین واصل است که با مفصلها به هم وصل می شوند. این واصلها در جهات مختلف در فضای کاری قادر به حرکت می باشند. حرکت یک مفصل بخصوص باعث حرکت یک یا چند واصل می شود. عامل تحریک مفصل می تواند مستقیماً یا از طریق بعضی انتقالات مکانیکی بر واصل بعدی متصل شود. به واصل نهایی بازوی مکانیکی وسیله کاری ربات وصل شده است که به آن عامل نهایی می گویند. هر یک از مفصلهای ربات یک محور مفصل دارند که واصل حول آن می چرخد. هر محور مفصل یک درجه آزادی(D.O.F.) تعریف می کند. بیشتر رباتها دارای 6 درجه آزادی می باشند به عبارت دیگر دارای 6 مفصل، بمنظور حرکت در 6 جهت. اولین سه مفصل ربات به عنوان محورهای اصلی شناخته می شوند. بطورکلی صرفنظر از جزئیات، محورهایی که برای محاسبه موقعیت

شکل 2 : مؤلفه های یک ربات

و استقرار مچ استفاده می شونــد، محورهای اصلی ربات هستند. محورهای مفصلهای باقیمانده جهت قرار گرفتن دست ربات را مشخص می کنند، ولذا محورهای فرعی نامیده می شوند.

دو نوع مفصل اصلی به صورت گسترده در صنعت رباتها بکار گرفته می شود. مفصل دورانی که نمایش دهنده حرکت چرخشی حول یک محور است و مفصل انتقالی یا لغزشی که نمایش دهنده حرکت خطی در طول یک محور است، (جدول 1).

Description Notation Type

Rotary motion about an axis R Revolute

Linear motion along an axis P Prismatic

جدول 1 : انواع مفصل ربات

2-4- سنسورها

برای کنترل صحیح بازوی مکانیکی بایستی وضعیت هر مفصل شناخته شده باشد. منظور از وضعیت، موقعیت مفصل، سرعت و شتاب می باشد. بنابراین در مفصلها بایستی سنسورهایی جهت دید مفصلها و وصلها جهت تعیین موقعیت، گشتاور، سرعت، شتاب، و ... نصب شود، تا وضعیت مفصلها به کنترلر ابلاغ شود. خواندن اطلاعات سنسور، یا در اتمام حرکت یا در حین حرکت انجام می گیرد و با ارسال اطلاعات آنی سنسورها به کنترلر، کنترل صحیح و واقعی سیستم مکانیکی انجام می شود. این اطلاعات سنسوری، دیجیتال یا آنالوگ و یا ترکیبی می باشند.

3-4- کنترلر

بخشی است که به بازوی مکانیکی، هوش انجام کار را می دهد. کنترلر معمولاً از بخشهای ذیل تشکیل می شود :

1- واحدی که اجازه می دهد ربات از طریق سنسورها با محیط بیرون ارتباط داشته باشد.

2- حافظه جهت ذخیره داده هایی که مختصات را تعریف می کنند تا بازو با توجه به این مختصات حرکت کند (برنامه).

3- واحدی که داده ذخیره شده در حافظه را تغییر می دهد و سپس داده را برای ارتباط دادن با مؤلفه های دیگر کنترل بکار می برد.

4- حرکت مؤلفه هــای بخصوصی در نقاط معینــی مقدار دهی اولیه شده و در نقطه بخصوص

دیگری پایان می یابند.

5- واحــد محاسباتی که محاسبــات لازم برای کنترلـر را انجام می دهد. به عبارت دیگر، برای

انجام صحیح اعمال بایست یک سری محاسبات جهت مشخص کردن مسیر، سرعت و موقعیت بازوی مکانیکی انجام شود.

6- واسطی جهت بدست آوردن داده ها (مختصات هر مفصل، اطلاعاتی از سیستم بینایی و ...) و واسطی جهت اعمال سیگنالهای کنترل به محرک مفصلها.

7- واسطی جهت انتقال اطلاعات کنترلر به واحد تبدیل توان، به طوری که محرک های مفصلها باعث بشوند که مفصلها به صورت مطلوب حرکت کنند.

8- واسط به تجهیزات دیگر، بطوری که کنترلر ربات با واحدهای خارجی یا ابزارهای کنترل دیگر، ارتباط داشته باشد.

9- وسایل و تجهیزات لازم جهت آموزش ربات.

کنترلرهای رباتها کلاً به 5 دسته تقسیم بندی می شوند :

1- کنترل با قدم ساده(Simple Step Sequencer)

2- سیستم منطقی پنوماتیکی(Pneumatic Logic System)

3- کنترلر با قدمهای الکترونیکی (Electronic Sequencer)

4- میکرو کامپیوتر (Micro Computer)

5- مینی کامپیوتر (Mini Computer)

سه کنترلر اول در رباتهای کم هزینه به کار برده می شوند. بیشتر کنترلرهای امروزی براساس میکروکامپیوترهای معمولی می باشند و سیستم کنترل براساس مینی کامپیوتر زیاد رایج نمی باشد، چرا که نسبت به میکروکامپیوترها هزینه بالاتری دارند.

4-4- واحد تبدیل توان

این واحد سیگنالهای کنترلر را گرفته و به یک سیگنال در سطح توان محرک ها و موتورها، جهت حرکت، تبدیــل می کند. این واحــد شامل تقویت کننده هـای توان الکترونیکی برای رباتهای الکتریکی و شیرهای کنترلی و راه اندازهای هیدرولیکی برای رباتهای هیدرولیکی می باشد.