ریاضیات و بند کفش

آیا هیچ گاه از خود پرسیده اید که چه کسی یک ریاضیدان است؟ چندین سال پیش حرفه ای برای این پرسش در ذهن من ایجاد شد و به نظرم رسید که ریاضیدان شخصی است که قدرت تشخیص فرصتهای موجود برای به کار گیری ریاضیات را دارد و این در حالی است که بقیه افراد متوجه این فرصتها نیستند. در این مورد می توان بند کفش را در نظر گرفت آقای جان هاتسون استاد علوم کامپیوتر دانشگاه کارولینای شمالی مقاله ای با عنوان
» معمای بند کفش« به رشته تحریر درآورده است. حداقل سه نوع آرایش کلی برای بستن بند کفش وجود دارد که عبارت است از نوع امریکایی(زیگراگ)، نوع اروپایی و نوع کفاشی(ایرا نی). هر چند از نظر خریدار شکل ظاهری و زمان لازم برای گره زدن دارای اهمیت است ولی برای تولید کنندگان کفش، موضوع مهمتر آن است که کدام یک از آرایشها دارای کوتاهترین طول بوده و در نتیجه کمترین هزینه را در بر خواهد داشت؟ در این مبحث به منظور یافتن طول بند فقط اندازه خطوط مستقیم مورد توجه قرار گرفته است. فزض شده است که طول مورد نیاز برای گره زدن در تمامی آرایشها یکسان است و از این رو در نظر گزفته نشده است. توصیه میشود از چشمهای کسی ه کفش را پوشید ه است به کفش بنگرید و در این راستا منظور از ردیف بالای سوراخها آنهایی است که نزدیک پا باشند.نکته دیگر اینکه در اینجا ضخامت بند (ضخامت خط) معادل صفر و سوراخها به عنوان نقطه فرض شده اند. حال اگر به دقت به مساله بنگریم، خواهیم دید که طول بند به سه پارامتر بستگی دارد که در روی شکل نیز مشخص شده اند: 1- تعداد سوراخها(n ) 2- فاصله بین سوراخهای متوالی (d ) 3- فاصله بین سوراخها ی چپ و راست در هر ردیف (g ).
بااستفاده از قضیه فیثاغورث می توان طول بندها را یافت (البته شادی تعجب کنید که قضیه چنین مرد بزرگی دارای این کاربرد باشد):

مبحث تابع


تعریف زوج مرتب:
هر دستة متشکل از دو عنصر با ترتیب معین را یک زوج مرتب گویند. مانند زوچ مرتب (x,y) که x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند و نمایش هندسی آن نقطه‌ای در صفحة مختصات قائم است که طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.
تساوی بین دو زوج مرتب:
دو زوج مرتب با یکدیگر مساوی‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌های نظیر‌به‌نظیر آنها با هم برابر باشند یعنی:

مثال: از تساوی زیر مقادیر x,y را بیابید:


تعریف حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه :
حاصلضرب دکارتی در مجموعه B,A که با نماد نشان داده می‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائی که مؤلفة اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد یعنی:

مثال: حاصلضرب دکارتی درهر یک از مثالهای زیر را بصورت مجموعه‌ای از زوجهای مرتب بنویسید و نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم نمائید:

(1

(2




نمودار حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های داده شدة زیر را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم کنید.






ویژگی‌های حاصلضرب دکارتی مجموعه‌ها :



فضای دوبعدی ( صفحه) 3) , ,
4) , ,
5) مثال:
تضاد زوجهای مرتب:
تعریف ریاضی رابطه:
اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی را یک رابطه از A در B گویند اگر f یک زیرمجموعه از باشد گویند. F یک رابطه از A در B است به عبارت دیگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌های است که مؤلفه‌های اول و دوم آن با شرایطی خاص( قانون یا ضابطة خاص) به یکدیگر مربوط می‌شوند. به بیان دیگر رابطه f زیرمجموعه‌ای از است که با ضابطه یا قانون خود مختص اول زوجهای مرتب را به مختص دوم آنها پیوند می‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندی رابطه مالک و مستأجری رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.
مفهوم تابع: تابع بیانگر چگونگی ارتباط مقدار یک کمیت(متغیر وابسته y= ) به مقدار یک کمیت دیگر( متغیر مستقل x= ) است مفهومی که خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پیوستگی آن؛ مشتق و انتگرالگیری از آن و… نه تنها در ریاضیات بلکه درهمه علوم و فنون نقش مهمی ایفا می‌کند و در زندگی خود نیز به نمونه‌هایی برمی‌خوریم که مقدار یک کمیتی( کمیت تابع) به مقدار کمیت دیگری( کمیت آزاد) وابسته است؛
مثال: متغیرهای وابسته (y) و متغیرهای مستقل(x) را در مثالهای زیر مشخص کنید:
1) افزایش طول یک فنر به وزنه‌ای که به آن آویزان می‌شود بستگی دارد.
جواب: « افزایش طول فنر» = متغیر وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغیر آزاد (x)
2) »هر که بامش بیش، برفش بیشتر»
جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روی پشت‌بام» = متغیر وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغیر آزاد
3) مقدار مکعب هر عددی به آن عدد وابسته است.
جواب: مکعب عدد«= متغیر وابسته(y ) و « خود عدد»= متغیر مستقل(x )
تذکر: با توجه به اینکه هر تابع یک رابطه است( عکس این مطلب درست نیست یعنی هر رابط ممکن است تابع نباشد.
تعریف تابع:
اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهای مرتب باشد آنگاه رابطةf را تابع گویندهرگاه هیچ دوزوج مرتب متمایزی در f دارای مؤلفه‌های اول یکسان نباشند یعنی:

ماتریس


مقدمه :
شاید یکی از کاربردی ترین مفاهیم و مباحث ریاضی ، مبحث مربوط به ماتریس است که از آن به عنوان ابزاری قوی در مباحث دیگر ریاضیات و بخصوص در فیزیک کوانتم و علومی چون آمار ، حسابداری و ........ استفاده می شود . امروزه ماتریس ها یکی از ابزارهای اساسی محاسبات علمی ریاضیات به حساب می روند و در واقع ، نقش امروز ماتریس ها در ریاضیات و پیشبرد آن ، مانند نقش دیروز اعداد است . ریاضیات کاربردی ، در تمام شاخه ها ، نیاز مبرم به ماتریس دارد ، به خصوص که در بیش تر موارد حل مسائل عملی به نوعی با حل دستگاه های معادلات یا نامعادلات پیوند می خورد که حل چنین دستگاه هایی با ماتریس ها ارتباط تنگاتنگ دارد . ا زاین ور ، این مبحث حتی در سطح دبیرستان نیز از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، به طوری که هم در کتاب درسی ریاضیات سال دوم ، هم در هندسه ی تحلیلی و جبر خطی دوره ی پیش دانشگاهی و هم در کتاب های ریاضی عمومی رشته های مهندسی از آن استفاده شده است . لذا ، با مطالعه و یادگیری مفاهیم مربوط به ماتریس ها و کاربرد آن ها ، یکی از جالب ترین و در عین حال ، مفید ترین موضوعات ریاضی بررسی خواهد شد .
تعریف ماتریس : بر اساس تعریفی که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی به نام «کیلی» برای ماتریس ارائه داد ، «ماتریس ، آرایشی از اعداد حقیقی است که روی سطرها و ستون های منظم قرار گرفته و با دو کروشه محصور شده باشند .» هر یک از اعداد حقیقی موجود در یک ماتریس را یک درایه یا عنصر آن ماتریس می نامند .
هر یک از آرایش های زیر یک ماتریس است : (ماتریس ها را با حروف بزرگ نشان می دهیم . )
هر درایه در یک ماتریس ، در تقاطع یک سطر با یک ستون قرار دارد ، مثلاً در ماتریس A ، عدد 2 در تقاطع سطر اول با ستون دوم قرار دارد و یا در ماتریس B ، عدد در تقاطع سطر دوم و ستون دوم واقع است که در واقع ، جایگاه هر درایه در هر ماتریس با همین تقاطع ها مشخص و برای هر درایه در هر ماتریس دو اندیس در نظر گرفته می شود که اولی سطر و دومی ستون مربوط به آن درایه را معلوم می کند . برای مثال ، وقتی می نویسیم یعنی درایه ی روی سطر دوم و ستون سوم و برای هر ماتریس نیز دو اندیس در نظر گرفته می شود که اندیس اول ( از چپ ) تعداد سطرها و اندیس دوم تعداد ستون های آن ماتریس را نشان می دهد . برای مثال اگر B ماتریسی با دو سطر و سه ستون باشد ، می نویسیم و می گوییم « B ماتریسی 2 در 3 » یا «از مرتبه ی 2 در 3 » است ، و در حالت کلی اگر A ماتریسی باشد ، داریم :