سریهای توانی [1]

یک سری به شکل * که در آن و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .

اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .

نکته : هرگاه سری توانی به ازاء x=r که همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که نیز واگرا است .

تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از‌ ‌آنها سری همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.

نکته: سری توانی یکی از سه رفتار زیر را دارد :

الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازة [0,0] است

ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت است

ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست

در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R,R],[-R,R),[-R,R],(-R,R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R ,x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R همگرا باشد یا نباشد .

شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی نام دارد .

مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .

(‌الف

حل : از آزمون نسبت [2] نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :

مگر آنکه x=0 لذا R=0,I=[0,0]

(ب

حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :

(ج

حل : معلوم می شود که

*

لذا سری به ازاء به طور مطلق همگرا به ازاء واگرا می باشد در نتیجه شعاع همگرایی 1 می باشد بازة‌ همگرایی [-1,1) است در واقع به ازاء x=1 سری * به سری توافقی واگرای تبدیل می شود . ولی به ازاx=-1 به سری متناوب به طور مشروط همگرای بدل خواهد شد

(د

حل : یک سری توانی است که فقط شامل توانهای زوج x است با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر یا معادلا و واگر است اگر یا در نتیجه شعاع همگرایی1می باشد. بازه همگرایی بازه بسته
می باشد. در واقع با گذاردن x=-1 , x=1 در سری فوق یکسری بطور مشروط همگرا است .

(و

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر و واگراست اگر در نتیجه شعاع همگرایی سری 5 می باشد . بازه همگرایی بازه بسته [-5,5] می باشد

(هـ

حل : با استفاده از آزمون ریشه [3] داریم :

لذا سری برای هر x همگراست یعنی

(ی

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

و لذا اگر یا به عبارت دیگر سری توانی بطور مطلق همگرا است وبه ازاء سری توانی مفروض به صورتدر می آید که واگرا است لذا بازه همگرایی بصورت است و

مشتق گیری ازسری توانی

مثال : سری هندسی را در نظر بگیرید این سری به مجموع می‌گراید هرگاه |x|<1 بنابراین سری توانی تابع f با ضابطه را تعریف می کند لذا :

*

مثال : اگر در * به جای x ، –x قرار دهیم ، داریم :

در * قرار میدهیم x=x² و بدست می آوریم .

چنانچه در * به جای x ، -x² گذاشته شود بدست می آید :

قضیه : اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز R است . این قضیه حاکی است که شعاع همگرایی سری حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از یک سری توانی مفروض ،‌ همان شعاع همگرایی سری مفروض است .

مثال : درستی قضیه فوق را در مورد سری توانی زیر تحقیق می کنیم:

شعاع همگرایی با استفاده از آزمون نسبت بدست می آید :

پس سری توانی به ازاء |x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ، R برابر1 است با مشتق گیری جمله به جمله از سری مفروض ، سری توانی زیر حاصل می شود :

آزمون نسبت را در مورد این سری توانی به کار می بریم وبدست می اوریم :

این سری توانی هم به ازاء|x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ،R` ، برابر است چون درستی قضیه فوق تأیید می شود .

قضیه :

اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز برابر R است .

قضیه :گیریم یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی ‌اش R>0 است آنگاه اگر f` تابعی با ضابطه باشد ، به ازاء هر x دربارة باز وجود دارد و به صورت زیر معین می شود :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل :‌ می دانیم که

با توجه به قضیه فوق از دو طرف رابطه بالا مشتق می گیریم داریم :

مثال : نشان دهید که به ازاء هر مقدار حقیقی x داریم :

حل: سری توانی به ازاء همة‌مقادیرحقیقی x به طور مطلق همگراست (‌چرا؟) بنابراین اگر f تابعی باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود :

*

آنگاه قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی است یعنی بازة‌همگرایی () است لذا به ازاء هر عدد حقیقی

لذا به ازاء‌تمام اعداد حقیقی لذا تابع f در معادله دیفرانسیل صدق کند که جواب عمومی آن است لذا به ازاء تابع ثابتی مانند C، و چون بنا به*، f(0)=1 پس C=1 و لذا f(x)=e^x

مثال : سری توانی بیابید که e^-x را نمایش دهد

حل :

مثال : نشان دهید

انتگرال گیری از سری توانی

قضیه: فرض کنید یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی اشR>0 است در این صورت اگر f تابعی با ضابطه باشد این تابع بر هرزیربازه بسته از (-R,R) انتگرال پذیر است .وانتگرال f با انتگرال گیری جمله به جمله از سری توانی مفروض بدست می آید:یعنی اگر x در (-R,R) باشد آنگاه :

علاوه بر این شعاع همگرایی سری حاصل R است

مثال: سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل:

اگر به جای t²,x قرار دهیم داریم :

به ازاء هر مقدارt

لذا با انتگرال گیری جمله به جمله ازسری داریم:

این سری توانی،انتگرال را به ازاء تمام مقادیرx نمایش می‌دهد .

مثال : درسری توانی قبل ،مقداررا با دقت سه رقم اعشار محاسبه کنید

حل :

این سری متناوب همگراست که در آن پس اگر برای تقریب کردن مجموع از سه جمله اول استفاده کنیم خطا از قدر مطلق جمله چهارم کوچکتر خواهد بود از سه جمله اول داریم :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد .

حل : تابع f را که به صورت در نظر می گیریم داریم :

لذا با جمله به جمله انتگرال گرفتن از سری توانی فوق داریم:

یا معادلش

تمرین : نشان دهید که

مثال : یک سری توانی بیابید که را نمایش دهد .

حل :‌می دانیم که

با انتگرال گیری جمله به جمله بدست می آوریم :

*

مثال : در * قرار دهید x=1 داریم:

سری دو جمله ای

بنا بر قضیه دو جمله ای هرگاه r عددصحیح نامنفی باشد آنگاه:

*

سری توانی** که در آن rعدد حقیقی دلخواهی‌است سری درجمله ای نام دارد .اگر r عددصحیح نامنفی باشد ،سری دوجمله ای مختوم بوده و به چند جمله ای* از درجه r تحویل می شود واین سری دارای شعاع همگرایی 1 میباشد (چرا؟) لذا تابع f(x) بر بازه (1،1-) تعریف شده است ، با مشتق گیری جمله به جمله از ** داریم :

که پس از ضرب در xبه صورت زیر در می آید :

لذا داریم

لذا تابع مجموع y=f(x) در معادله دیفرانسیل تحت شرط اولیه y(0)=1 صدق می کند لذا جواب معادله دیفرانسیل می باشد بنابراین:

مثال با استفاده از سری دو جمله ای نشان دهید که :

حل:می دانیم که : با انتگرال گیری از این سری دربازة‌همگرایی داریم :

مثال :‌نشان دهید که :

و با استفاده از آن نشان دهید که

حل : واگذارمی شود .

قضیه تیلور موارد کاربرد آن

قضیه تیلور :فرض کنید f در هر نقطه ازبازة‌I مشتق مرتبه n+1 متناهی داشته ،x,a نقاط دلخواهی از I باشند در این صورت نقطه ای مانند t بین a و x هست که :

*

فرمول * را فرمول تیلور گویند به چند جمله ای تیلور به باقیمانده تیلور گویند .

مثال : تابع f(x)=e^x را بوسیله چهار چند جمله ای تیلور اول خود در مجاورت x=0 تقریب نمایید .

ترکیب e^x بوسیله چند جمله ای مکعبی p₃(x) از همه بهتر است در واقع بنا به قضیه تیلور که در آن

در نتیجه خطای تقریب روی تمام بازة مثبت و کوچکتر از مقدار زیر است .

مثال : با استفاده از فرمول تیلورنشان دهید که :

حل : با اختیار f(x)=sinx, a=0,n=4 در فرمول تیلور و توجه به اینکه

داریم :

سریهای تیلور و مک لورن

بنابر فرمول تیلورهرگاه تابع f در هر نقطه از بازة‌I شامل نقطة a دارای مشتق مرتبه n+1ام متناهی باشد ، آنگاه به ازاء هرx/در I

که در آن باقیمانده R_n(x) عبارتست از :

سری متناهی * را در نظر می گیریم بدون توجه به همگرا بودن یا نبودن سری به f سری تیلور f در x=a نامیده می شود .حالتی که سری تیلور f همگرا به f است اهمیت بیشتری دارد در این صورت مجموع سری تیلور خود می باشد »

قضیه : (محک همگرایی برای یک سری تیلور ): سری تیلور * بر بازة I همگرا به f است اگر فقط اگر به ازاء هر x در **

در این صورت اگر ** برقرار باشد آنگاه

به ازاء a=0 سری تیلور *** به صورت زیر تحویل می شود که به آن سری مک لورن گویند :

مثال : سری مک لورن e^x را بیابید

مشروط بر اینکه سری راست همگرا به باشد برای تحقیق این امر باقیمانده را بررسی می کنیم :

که t بین x,o قرار دارد واضح است که :

که در آن M ماکزیمم e^{t بر} بازة [0,x] است اگر x>0 یا بر بازة [x,0] است گه اگر x<0 یعنی

بعلاوه به ازا‌ء هر x ثابت

زیرا بنا به آزمون نسبت بطور مطلق همگرا است ولذا :

مثال سری مک لورن sin x را بیابید .

سری مک لورنx sin بصورت زیر می باشد

که باقیمانده آن مساوی است با :

که در آن t بین x,0 است چون به ازاء n,t دلخواه لذا

ولذا بنابر این سری مک لورن sin x بر تمام بازه می باشد.

مثال سری مک لورن تابع را بدست آورید

مثال سری تیلور sinx را در بیابید

حل : واگذار می شود (راهنمایی )

مختصات قطبی[4]

مختصات قطبی به صورت زیر تعریف می‌شود:

فرض کنیم یک شعاع یا نیم خط ثابت ،به نام محور قطبی ، باشد که از نقطه ثابت o به نام مبدا یا قطب خارج شده است .

فرض کنید فاصله بین o,p بوده و زاویه بین وپاره خط opباشد که ازبه opدرجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت سنجیده میشود،در این صورت گوییم نقطهp به مختصات قطبی است و p رابا جفت نشان داده ومی نویسیم p=. اگر را مختص شعاعی ورا مختص زاویه ای

pمی نامند .