= نیروی چسبندگی

= نیروی فشاری

= نیروی گرانش

= نیروی کشش سطحی

= نیروی تراکم پذیری

نیروهای اینرسی در اکثر مسائل مکانیک سیالات مهم هستند. نسبت نیروی اینرسی به هر یک از نیروهای دیگر فهرست شده در بالا، پنج گروه بی‌بعد اصلی در مکانیک سیالات را تشکیل می دهد.

در دهه 1880، اسبرن رینولدز، مهندس انگلیسی، گذار بین جریان لایه ای، و جریان متلاطم را در یک لوله مطالعه کرد. او کشف کرد که پارامتر زیر (که بعداً به نام او خوانده شد)

معیاری است که با آن می توان نوع جریان را به دست آورد. بعدها، آزمایش ها نشان دادند که عدد رینولدز پارامتری کلیدی برای دیگر حالت های جریان نیز می‌باشد. از این‌رو، به طور کلی، داریم:

که در آن L طول مشخصه توصیفی هندسه میدان جریان است. عدد رینولدز عبارت است از نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای چسبندگی. جریان با عدد رینولدز “بزرگ” معمولاً متلاطم است. جریانی که در آن نیروهای اینرسی در مقایسه با نیروهای چسبندگی “کوچک” هستند به طور مشخصه جریان لایه ای است.

در آیرودینامیک و آزمون های مدل، بهتر است داده های فشار را به شکل بی‌بعد نشان داد. نسبت زیر:

تشکیل داده می شود، که در آن فشار محلی منهای فشار جریان آزاد است، و V خواص جریان آزاد هستند. این نسبت به نام لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی که اکثر کارهای تحلیلی اولیه را در مکانیک سیالات انجام داد، خوانده می شود. اویلر اولین کسی است که نقش فشار را در حالت سیال تشخیص داد؛ عدد اویلر عبارت است از نسبت نیروهای فشاری به نیروهای اینرسی. (ضریب در مخرج وارد می‌شود تا فشار دینامیکی را بدهد). عدد اویلر را اغلب ضریب فشار، C_p، می نامند.

در مطالعه پدیده حفره‌زایی، اختلاف فشار به صورت گرفته می‌شود، که در آن شرایط جریان مایع هستند. و فشار بخار در دمای آزمایش است. پارامترهای بعد زیر را عدد حفره زایی می نامند،

ویلیام فرود یک آرشیتکت دریایی انگلیسی بود. همراه با پسرش، رابرت ادموند فرود، کشف کرد که پارامتر زیر

برای جریان ها با تاثیرات سطح آزاد مهم است. با مجذور کردن عدد فرود داریم:

که می توان آن را به عنوان نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای گرانشی تفسیر کرد. طول، L، طول مشخصه توصیفی میدان جریان است. در حالت جریان در کانال باز، طول مشخصه عمق آب است؛ اعداد فرود کم تر از واحد نشان می دهد که جریان زیر بحرانی است و مقادیر بزرگ تر از واحد نشان می دهد که جریان فوق بحرانی است.

عدد و بر عبارت است از نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای کشش سطحی. آن را می توان چنین نوشت:

در دهه 1870، فیزیکدان استرالیایی ارنست ماخ پارامتر زیر را دکرد:

که در آن V سرعت جریان و c سرعت صوت محلی است. تحلیل و آزمایش نشان می‌دهد که عدد ماخ پارامتری کلیدی است، تاثیرات تراکم ناپذیری را در یک جریان مشخص می کند. عدد ماخ را می توان چنین نوشت:

یا

آن را به عنوان نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ناشی از تراکم پذیری می توان تفسیر کرد. برای جریان کاملاً تراکم ناپذیر (در عرضی شرایط حتی مایعات کاملاً تراکم ناپذیر هستند)، . بنابراین M=0.

5- تشابه جریان و مطالعه های مدل

برای اینکه آزمون مدل مفید باشد باید داده هایی را بدهد که بتوان آنها را مقیاس بندی کرد و نیروها، و گشتاورها و بارهای دینامیکی موثر بر نمونه اصلی با اندازه کامل را به دست آورد. چه شرایطی باید برقرار باشد تا بین جریان مدل و جریان نمونه اصلی تشابه وجود داشته باشد؟

شاید بدیهی ترین شرط این است که مدل و نمونه اصلی باید به دور هندسی متشابه باشند. تشابه هندسی ایجاب می کند که مدل و نمونه اصلی دارای شکل یکسان باشند، و تمام ابعاد خطی مدل با تقریب مقیاس ثابتی به ابعاد متناظر نمونه اصلی ارتباط داده شوند.

شرط دوم این است که جریان مدل و جریان نمونه اصلی باید به طور سینماتیکی متشابه باشند. دو جریان وقتی به طور سینماتیکی متشابه هستند که سرعت ها در نقاط متناظر هم جهت باشند و مقدار آنها با یک ضریب مقیاس ثابت به هم ارتباط داده شوند. از این رو دو جریان که به طور سینماتیکی متشابه هستند دارای نقش های خط جریانی نیز هستند که با ضریب مقیاس ثابت به هم مربوط می شوند. از آنجا که مرزها خطوط جریان احاطه کننده تشکیل می دهند، جریان هایی که به طور سینماتیکی متشابه هستند باید به طور هندسی متشابه باشند.

اصولاً، تشابه سینماتیکی ایجاب می کند که برای به دست آوردن داده های بازدارندگی موثر بر یک جسم، از تونل باد با مقطع عرضی نامحدود استفاده شود تا عملکرد در یک میدان جریان محدود به درستی مدل بندی شود. در عمل، این محدودیت را به طور قابل توجه می توان تعدیل کرد، و از وسیله ای با اندازه منطقی استفاده کرد.

تشابه سینماتیکی ایجاب می کند که نوع جریان مدل و نوع جریان نمونه اصلی با هم یکسان باشند. اگر آثار تراکم ناپذیری یا حفره زایی، که نقش های جریان را به طور کیفی می توانند تغییر دهند، در جریان نمونه اصلی وجود نداشته باشند، در جریان مدل از وجود آنها باید جلوگیری کرد.

وقتی توزیع نیروها در دو جریان به صورتی باشد که در تمام نقاط متناظر، انواع نیروهای همسان با هم موازی باشند و مقدار آنها با ضریب مقیاس ثابت به هم مربوط شود، جریان ها به طور دینامیکی متشابه هستند.

شرایط تشابه دینامیکی بسیار محدود است: دو جریان باید هر دو تشابه هندسی و سینماتیکی را داشته باشند تا به طور دینامیکی متشابه باشند.

برای در نظر گرفتن شرایط لازم برای تشابه دینامیکی کامل، تمام نیروهایی که در جریان مهم هستند باید در نظر گرفته شوند. از این رو، تاثیرات نیروهای چسبندگی، نیروهای فشاری، نیروهای کشش سطحی و غیره، باید در نظر گرفته شود. شرایط آزمون باید طوری در نظر گرفته شود که تمام نیروهای مهم میان جریان های مدل و نمونه اصلی با ضریب مقیاس یکسان به هم ارتباط داده شود. وقتی تشابه دینامیکی وجود دارد، داده های اندازه گیری شده در یک جریان مدل را می توان به طور کمی به شرایط جریان نمونه اصلی ارتباط داد. در این صورت، شرایطی که تشابه دینامیکی بین جریان های مدل اصلی را برقرار می کنند چه هستند؟

برای یافتن گروه های بی‌بعد حاکم در یک پدیده جریان، از نظریه پی بوکینگهام می‌توان استفاده کرد؛ برای یافتن تشابه دینامیکی بین جریان های به طور هندسی متشابه، باید تمام این گروه های بی‌بعد به غیر از یکی را همانند قرار داد.

مثلاً در بررسی نیروی بازدارندگی موثر بر یک کره در مثال 1، با رابطه زیر شروع می کنیم:

نظریه پی بوکینگهام رابطه تابعی زیر را می دهد

در قسمت 4 نشان دادیم که پارامترهای بی‌بعد را به صورت نسبت نیروها می توان تفسیر کرد. از این رو، در بررسی جریان مدل و جریان نمونه اصلی پیرامون یک کره (جریان ها به طور هندسی متشابه هستند)، جریان ها به طور دینامیکی متشابه هستند اگر

به علاوه، اگر

در این صورت

و نتایج حاصل از مطالعه مدل را برای پیش بینی بازدارنگی موثر بر نمونه اصلی با اندازه کامل می توان به کار برد.

نیروی واقعی که سیال بر جسم وارد می کند در هر حالت یکسان نیست، اما مقدار بی‌بعد آن یکسان است. در صورت لزوم، می توان دو آزمایش را با استفاده از سیالات متفاوت انجام داد تا اعداد رینولدز با هم برابر شوند. مطابق مثال 4، برای سهولت آزمایش می توان داده های آزمون را در یک تونل باد در هوا اندازه گیری کرد و از نتایج برای پیش بینی نیروی بازدارندگی در آب استفاده کرد.

مثال 4 تشابه: نیروی بازدارندگی مبدل یک وسیله کاشف زیر دریایی.

بازدارندگی مبدل یک وسیله کاشف زیر دریایی قرار است از روی داده های آزمون در تونل باد تعیین شود. نمونه اصلی، کره ای به قطر mm300، باید با سرعت 5نات (مایل دریایی در ساعت، و یک مایل معادل 1852 متر است) در آب دریای حرکت کند. مدل به قطر mm150 است. سرعت لازم را برای آزمایش در هوا بیابید. اگر بازدارندگی مدل در شرایط آزمایش 24.8N باشد، بازدارندگی موثر بر نمونه اصلی را تخمین بزنید.

تحلیل مثال 4

داده: مبدل یک وسیله کاشف زیر دریایی قرار است در تونل باد آزمایش شود.

خواسته: (الف) (ب)

حل:

از آنجا که نمونه اصلی در آب عمل می کند و آزمایش مدل قرار است در هوا انجام شود، فقط اگر تاثیرات حفره زایی در جریان نمونه اصلی و تاثیرات تراکم ناپذیری در آزمایش مدل وجود نداشته باشد، نتایج مفیدی به دست می آید. در این شرایط

و آزمایش را باید در

انجام داد تا تشابه دینامیکی برقرار شود. برای آب دریا در ، و . در شرایط نمونه اصلی،

شرایط آزمایش مدل باید طوری باشد که این عدد رینولدز را برقرار کند. از این رو

برای هوا در شرایط استاندارد، و تونل باد باید در شرایط زیر عمل کند:

این سرعت آنقدر کم است که بتوان از تاثیرات تراکم ناپذیری صرف نظر کرد. در این شرایط آزمایش، جریان مدل و جریان نمونه اصلی به طور دینامیکی متشابه هستند. از این رو،

اگر انتظار حفره زایی برود- اگر مبدل خورشیدی در سرعت زیاد نزدیک سطح آزاد آب دریا عمل می کرد- در این صورت از روی آزمایش مدل در هوا نمی توانستیم نتایج مفیدی به دست آوریم.

این‌مساله محاسبه مقادیر نمونه اصلی را از روی داده های آزمایش نشان می‌دهد.

5-1- تشابه غیر کامل

نشان داده ایم که برای یافتن تشابه کامل دینامیکی بین جریان های به طور هندسی متشابه باید تمام گروه های بی‌بعد مهم به جز یکی همانند باشند.

در حالت ساده مثال 4، همانند ساختن عدد رینولدز بین مدل و نمونه اصلی، تشابه دینامیکی را بین جریان ها برقرار می کرد. با آزمایش در هوا می توانستیم عدد رینولدز را دقیقاً همانند کنیم (در این حالت، با آزمایش در تونل آب نیز می‌توانستیم این کار را انجام دهیم). نیروی بازدارندگی موثر بر کره در واقع به طبیعت جریان در لایه مرزی بستگی دارد. بنابراین، تشابه هندسی ایجاب می کند که زبری نسبی سطح مدل و نمونه اصلی یکسان باشند. این معنی می دهد که زبری نسبی نیز پارامتری است که باید بین حالت های مدل و نمونه اصلی همانند باشد. اگر فرض کنیم که مدل با دقت ساخته شده است، مقادیر اندازه گیری شده بازدارندگی از روی آزمایش های مدل را می توان مقیاس بندی کرد و بازدارندگی را در شرایط عمل اصلی به دست آورد.

در اغلب مطالعه های مدل، به دست آوردن تشابه دینامیکی مستلزم این است که چند گروه بی‌بعد همانند باشند. در بعضی حالت ها، تشابه دینامیکی کامل بین مدل و نمونه اصلی انجام پذیر نیست. نمونه ای از چنین حالتی، تعیین نیروی بازدارندگی (مقاومت) موثر بر یک کشتی سطحی است. مقاومت موثر بر یک کشتی سطحی از اصطکاک جداری موثر بر بدنه (نیروهای چسبنده) از مقاومت موج سطحی (نیروهای گرانشی) ناشی می شود.

تشابه کامل دینامیکی ایجاب می کند که اعداد رینولدز و فرود، هر دو، بین مدل و نمونه اصلی همانند باشند.

به طور کلی نمی توان مقاومت موج را به طور تحلیلی پیش بینی کرد، بنابراین باید آن را مدل بندی کرد. این موضوع ایجاب می کند:

برای همانند بودن اعداد فرود بین مدل و نمونه اصلی باید نسبت سرعت زیر را داشته باشیم:

نقش های موج سطحی به طور دینامیکی متشابه باشند.

برای هر مقیاس طول مدل، همانند ساختن اعداد فرود نسبت سرعت را می دهد. فقط چسبندگی سینماتیکی را می توان تغییر داد اعداد رینولد همانند شوند. از این رو رابطه

شرایط زیر را می دهد

از نسبت سرعتی که از روی همانندی اعداد رینولدز به دست آمده استفاده کنیم، تساوی اعداد رینولدز نسبت چسبندگی سینماتیکی زیر را می دهد

مساوی (یک مقیاس طول نمونه ای برای آزمایش های طول کشتی) باشد، در این صورت باید باشد. شکل 3 نشان می دهد که جیوه تنها مایعی است که چسبندگی سینماتیکی آن از چسبندگی سینماتیکی آب کم تر است. ولی، چسبندگی سینماتیکی جیوه فقط در حدود یک دهم چسبندگی سینماتیکی آب است. بنابراین نسبت چسبندگی سینماتیکی لازم همانندی اعداد رینولدز را نمی توان به دست آورد.

آب تنها سیال عملی برای آزمایش های مدل برای جریان با سطح آزاد است بنابراین، برای به دست آوردن تشابه کامل دینامیکی نمونه اصلی را آزمایش کرد. ولی، حتی اگر نتوان به تشابه کامل سینماتیکی دست یافت، مطالعه های مدل اطلاعات مفیدی می‌دهد.

شکل 1 داده های مربوط به آزمایش مدل یک کشتی با مقیاس 8 : 1 را نشان می دهد که در آزمایشگاه هیدرودینامیکی آکادمی دریایی آمریکا انجام شده است. در نمودار، داده‌های ضریب مقاومت برحسب عدد فرود نشان داده شده است. نقاط چهارگوش از روی مقادیر مقاومت کل اندازه گیری شده در آزمایش محاسبه شده اند.

داده ها از:

U.S.Naval Academy Hydromechanics Laboratory, Courtesy of Professor Bruce Johnson

با استفاده از روش زیر، مقاومت کشتی با مقیاس کامل را زا روی نتایج آزمایش مدل اصلی می توان محاسبه کرد. نقش موج های سطحی، و از این رو مقاومت موج، بین مدل و نمونه اصلی در اعداد فرود متناظر تطبیق داده می شود. مقاومت موج مدل به صورت تفاضل بین بازدارندگی کل و بازدارندگی اصطکاک تخمینی محاسبه می شود. (ضریب های مقاومت تخمینی موج برای مدل به صورت دایره رسم شده اند).

با استفاده از مقیاس بندی فرود، ضریب های مقاومت موج را در مدل و نمونه اصلی مساوی هم قرار می دهیم و مقاومت موج نمونه اصلی را حساب می کنیم. در شکل 7-2 نقاط دایره ای برای نمونه اصلی با ضریب های مدل در اعداد رینولدز متناظر همسان هستند. ضریب های بازدارندگی اصطکاک جداری که برای نمونه اصلی به طور تحلیلی حساب می شود، و در شکل 7-2 با لوزی نشان داده شده است، با ضریب‌های بازدارندگی موج جمع می شود و ضریب های بازدارندگی کل نمونه اصلی را می دهد.

از آنجا که در آزمایش های مدل کشتی های سطحی نمی توان عدد رینولدز را ]میان مدل و نمونه اصلی[ همانند کرد، رفتار لایه مرزی برای مدل و نمونه اصلی یکسان نیست. عدد رینولدز مدل فقط برابر مقدار عدد رینولدز نمونه است، از این رو گسترش جریان لایه ای در لایه مرزی روی مدل، با همان نسبت، خیلی زیاد است. در روش گفته شده این طور فرض می شود که رفتار لایه مرزی را می توان مقیاس بندی کرد. برای انجام این کار، لایه مرزی مدل “تحریک” می شود تا در مکانی متناظر با رفتار کشتی اصلی، متلاطم شود. در شکل 7-1، گل میخ هایی که برای تحریک کردن لایه مرزی در نتایج آزمون مدل به کار رفتند نشان داده شده است.

داده‌ها از روی:

U.S.Naval Academy Hydromechanics Laboratory, Courtesy of Professor Bruce Johnson

گاهی اوقات ضرایب نمونه اصلی که از روی داده های آزمایش مدل حساب می‌شود، تصحیح می شوند. این تصحیح، زبری، تموج و ناهمواری ها را که مسلماً در نمونه اصلی بارزتر از مدل هستند در نظر می گیرد. مقایسه بین داده های حاصل از آزمایش‌های مدل و اندازه گیری های انجام شده در نمونه با مقیاس کامل نشان می‌دهد که دقت کلی باید در محدوده درصد باشد.

برای مدل بندی رودخانه ها و بندرگاه ها، عدد فرود پارامتری مهم است. در این شرایط، به دست آوردن تشابه کامل عملی نیست. با استفاده از یک مقیاس مدل منطقی می‌توان از عمق های آب بسیار کوچک استفاده کرد. تاثیرات نسبی نیروهای چسبنده و نیروی کشش سطحی در جریان مدل بسیار بیش تر از جریان در نمونه اصلی است. در نتیجه، از مقیاس های طول متفاوت در جهت های عمودی و افقی استفاده می شود. با استفاده از اجزای زبری مصنوعی، نیروهای چسبنده در جریان مدل عمیق تر افزایش می‌یابد.