پروژه بررسی روشهای آماری در 44 صفحه ورد قابل ویرایش

تعاریف و تنظیم داده های آماری :

1- تعاریف و توزیعهای آماری

1-1- تعریف علم آمار :

قبل از آنکه علم آمار تعریف گردد لازم است کمی راجع به تاریخچه آن سخن به میان بیاید تاریخچه علم آماررا می توان از بدو تشکیل دولتها آغاز کرد ، زیرا کلمه آمار Statusticesاز کلمه State به معنی دولت گرفته شده است . دولتهای اولیه نیز برای پی بردن به سلطه و قلمروخود احتیاج به آن داشتند . البته در آن زمان منظور از آمار ارقام و اطلاعات مورد نیاز دولتها برای گرفتن مالیات و سربازی و سایر امور مربوطه به کشورداری و سیاست بوده است .

از چند هزار سال قبل از مسیح در کشورهای مصر و چین و هندوستان قدیم سرشماری نفوس و همچنین اندازه میزان – دارائی تحت نفوذ دولتها انجام گردیده است و یا اینکه اغلب به طور ناقص انجام گردیده است ، با این حال همین شمارشهای ابتدائی پایه و اساس آمار امروزی را بنیان نهاده است ولی تقریباً در نیم قرن اخیر همراه با سایر علوم ، علم آمار نیز سیر صعودی را پیموده و گاهی پیشتاز و پیش قراول بعضی از علوم بوده است ، که با استفاده از آن بود که اغلب علوم چند برابر سرعت سیر عادی خود را گرفتند ، زیرا روشها و فنونی که برای تحقیقات علمی ضروری هستند از علم آمار بدست می‌آید ، بخصوص در علوم فیزیکی و زیست شناسی و اجتماعی و اقتصادی بکار برده می شود . ناگفته نماند گاه ممکن است که یک روش معین تنها به منظور استفاده در یک رشته خاص پژوهش علمی طرح ریزی شده باشد . این بدان معنی نیست که در آن رشته بخصوص آمار کاربرد زیادی دارد .

از آنجائیکه علم آمار ریشه و علایقش به کلیه علوم بشری رسیده است ، امروزه در تمامی دانشگاههای جهان در اکثر رشته های مختلف دانشگاهی اعم از رشته های پزشکی ، فنی ، کشاورزی و برنامه ریزی و… تدریس می شود . برای آنکه هدف این درس بهتر معلوم شود ، لازم است بدواً علم آمار را تعریف نمائیم .

حال چند تعریف را از بین کلیه تعاریف که جامع تر به نظر می آید بیان می کنیم . لازم به تذکر است که برای علم آمار تعاریف زیادی شده است .

- آمار علمی است که خواص جامعه را مورد بررسی قرار می دهد .

- آمار علمی است که مشخصات جامعه ها را به صورت کمی ولی بادر نظراوضاع کیفی آنها مورد بررسی قرار میدهد .

- آمار علمی است که اصول وروش جمع آوری اطلاعات آماری ، نمایش دادن آنها ، تجزیه و تحلیل و استنتاج آماری را مورد بحث قرار می‌دهد .



4-3- واریانس

در میانگین قدر مطلق انحرافات برای اینکه انحرافات مثبت و منفی یکدیگر را خنثی نکنند آن را به صورت قدر مطلق بیان کردیم . این منظور از راه مجذور کردن انحرافات نیز ممکن بود تا فرمول از حالت جبری خارج نشود . بدین طریق مشخص کننده جدیدی از پراکندگی که از هر حیث بر مشخص کننده های قبلی برتری دارد بدست خواهد آمد که آن را واریانس می نامند و یا ، نمایش می دهند . ( واریانس واقعی جامعه را با نشان می دهند )

و عادتاً در این کتاب آن را با نشان خواهیم داد .



در صورتیکه داده های آماری به صورت جدول توزیع فراوانی باشد به بیان دیگر فراوانیهای مقادیر صفت یکسان نباشد ( مانند میانگین حسابی سا ده و میانگین وزنی ) فرمول واریانس به صورت زیر خواهد بود .



معمولا صورت واریانس یعنی مجموع مجذور و انحرافات از میانگین را با (2) و به طور خلاصه با SS نمایش می دهند در نتیجه فرمول واریانس در حالت کلی به زیر خواهد بود .



چو ن محاسبه واریانس به این صورت خالی از اشکال نیست (چرا ؟) بدین جهت صورت کسر واریانس (SS) را بسط داده به صورت زیر در می آیند .



(اثبات این فرمول بعهده دانشجویان گذارده می شود )

در نتیجه فرمول کلی واریانس عبارت خواهد بو د:



وگاهی را با علامت اختصاری یعنی عامل تصحیح (Correction Factor)

نشان می دهند .



و با استفاده از نتیج می شود که

در نتیجه فرمول عبارت خواهد بود از :



و فرمول واریانس نیز به صورت زیر در می آید .



ویا



در صورتی که داده های آماری به صورت فراوانی نسبی بیان شود فرمول واریانس برابر خواهد بود



مانند تمام مشخص کننده های پیش بهتر است محاسبه آن به کمک جدول انجام گیرد . یادآور می شود که در مقایسه دو یا چند جامعه ، جامعه ایکه واریانس آن کمتر است مقادیر صفت متغیر مورد مطالعه آن جامعه یکنواخت تر از جامعه های دیگر می باشد .

تبصره ((در مواردی که تعداد نمونه نسبت به تعداد کل جامعه خیلی کوچک باشد واریانس را از فرمول بدست می آورند ))



4-3-1- خواص واریانس

چون فرمول واریانس به صورت جبری بیان گردیده است لذا با توجه به فرمول آن می توان خواص زیر را بیان کرد و این خواص به ما کمک می کند که محاسبات را آسان تر بدست آوریم .

1- اگر از تمامی مقادیرصفت یک مقدار ثابت a کسر یا اضافه نمائیم مقدار آن تغییر نمی کند .



4-فراوانی مطلق و نسبی

از آنجا که ارتباط نزدیک بین احتمال یک حادثه با فراوانی نسبی آن در یک سری آرمایش که تعداد آنها به اندازه کافی زیاد باشد برقرار است لذا بار دیگر فراوانی نسبی یک حادثه را بازگو می نمائیم .

مقدار مشاهدات در یک آزمایش را فراوانی مطلق می نامند مثلا اگر یک سکه n بار ترپات شود بارشیر بیاید آنگاه را فراوانی مطلق و را فراونی نسبی حادثه می نامند و به صورت نشان می دهند می دانیم که همیشه بر قرار است و در حالتی که است که باشد و همچنین در صورتی که صادق است باشد یعنی حادثه A وقوع نیابد .



5-تعریف احتمال برمبنای فراوانی نسبی

فرض کنیم هریک از دانشجویان کلاس یک سکه پرتاب می کنند اگردانشجوی اولی بار و دومی و سومی بارو … همین طور I ام بار سکه ای را پرتاب کنند ، اگر تعداد رویه شیر آمدن به ترتیب برای دانشجوی اولی ، دومی سومی و…

و برای بار رخ دهد آنگاه فراوانی نسبی شیر آمدن در پرتاب سکه برای هریک از دانشجویان برابر با :

می باشد .

اگر به جای n ها عدد گذارده شود ملاحظه می شود که با بزرگ شدن n فراوانیهای نسبی به عدد 5/0 نزدیکتر می شوند .

با توجه به مطالب بالامی توان گفت کمیت ثابت که در حول آن فراوانی نسبی حادثه در سری آزمایشهای زیاد گرد هم می آید به عنوان اندازه اسکان وقوع حادثه قبول می شود ، احتمال آن حادثه نامیده می شود و آن را با یا نمایش می دهند در عمل به عنوان مقدار تقریبی احتمال حادثه تصادفی ، فراوانی نسبی آن حادثه در آزمایش های با n بزرگ قبول می شود یعنی همواره



ثانیاً از راه حل ضرب



حل قسمت دوم با استفاده از قضیه مجموع وقوع و عدم وقوع حادثه



حل قسمت سوم





8- احتمال هندسی

مسائلی که تاکنون دیدیم حالتهای ممکن از هم منفک و جدا بوده و شمارش آنها امکان پذیر بوده است و علاوه بر آن تعداد پیشامدها نیز هم احتمال بوده است ولی گاهی اوقات علاوه بر اینکه شمارش حالات ممکن و یا مساعد به علت بینهایت بودن آنها امکان پذیر نمی باشد تعریف احتمال ، مبتنی بر در نظر گرفتن تعداد پیشامدهای هم احتمال در حالت کلی کافی نیست زیرا به این ترتیب احتمال بر حسب احتمال تعریف شده است . برای برطرف کردن این مطلب مسئله زیر را در نظر می گیریم .

گیریم ناحیه G را در یک صفحه ،‌و همچنین ناحیه g را که در داخل ناحیه G قرار دارد در نظر بگیریم احتمال پیشامدی که یک نقطه اختیاری مثلا A در ناحیه G انتخاب می گردد در داخل ناحیه نیز قرار گیرد چیست ؟

احتمال اینکه نقطه A در قسمتی از G باشد برای تمام نقاط G متناسب با اندازه این قسمت است و بنابر این برای ناحیه انتخاب شده g در حالت کلی داریم .



یعنی احتمال اینکه نقطه A در داخل ناحیه g باشد برابر با نسبت و سعت اندازه g بروسعت اندازه G می باشد این مطلب را می توان برای حالتی که ناحیه های G و g سه بعدی باشند نیز تعمیم داد که در این صورت وسعت اندازه به حجم اندازه تبدیل می گردد.

مثال 5 – صفحه دایره با سرعت زاویه ای ثابت دوران می کند از مساحت این صفحه به رنگ سیاه و بقیه به رنگ سفید رنگ آمیزی شده است به این صفحه که در حال حرکت است ، تیراندازی می شود که یقیناً نیز به صفحه اثابت می کند .

احتمال اینکه تیر به ناحیه با رنگ سیاه اصابت کند چیست ؟

حل :



تبصره : ممکن است مساحت g صفر باشد ( یک نقطه ) در آن حال احتمال برابر با صفر می شود در حالی که ممکن است نقطه A روی نقطه g قرار گیرد بنابراین نتیجه می گیریم که : درآزمایش که نتایج ممکن آن نامحدود می باشد از صفر بودن احتمال حادثه غیر ممکن بودن حادثه لزوماً نتیجه گیری نمی شود و یا برعکس .

مثال 6 – فرض کنیم دایره ای به شعاع R حول محور عمود بر مرکزش می چرخد و عقربکی ثابت در مقابل دایره واقع است نقطه ای مانند A روی دایره مشخص شده است مطلوب است :

الف – احتمال اینکه موقع توقف دایره نقطه A در مقابل نوک عقربک قرار گیرد.

ب – احتمال اینکه موقع توقف دایره نقطه A در مقابل نوک عقربک قرار نگیرد.

حل – الف – به عنوان اندازه مجموعه نقاط بر روی دایره می توان طول آن دایره را قبول کرد در این صورت اندازه مجموعه A که از یک نقطه بر روی آن دایره تشکیل شده است ، صفر خواهد بود .



یعنی مقدار احتمال برابر صفر می شود . چه بسا ممکن است نقطه A د رمقابل عقربک قرار گیرد بنابراین از صفر بودن احتمال حادثه غیر ممکن بودن حادثه لزوماً نتیجه گیری نمی شود .

ب – در این حالت احتمال مربوط برابر یک خواهد بود .



از یک بودن احتمال حادثه یقین بودن حادثه نتیجه گیری نمی شود زیرا ممکن است نقطه A در مقابل عقربک قرار گیرد .

می توان گفت افزون بر آن اگر . آنگاه حادثه غیر ممکن نیست . همچنین اگر 1 آنگاه حادثه یقین نیست به سخن دیگر این دو حالت ترکیب دو شرطی نیستند .